b) Seja G=Z (os inteiros sob a adicio) e H=2Z (as múltiplos de 2). Prove que H é um subgrupo normal de G. c) Determine se o subgrupo H= e,(12)(34) do grupo G=S_(4) é normal. d) Dado o grupo G=D_(4) o grupo das simetrias de um quadrado , verifique se o subgrupo gerado por r^2 (rotações de 180 graus) é normal em C.

b) Para provar que H é um subgrupo normal de G, precisamos mostrar que para todo g em G e h em H, temos ghg^(-1) em H. Vamos considerar g = a e h = 2b, onde a e b são inteiros. Então, ghg^(-1) = 2a * a^(-1) = 2, que está em H. Portanto, H é um subgrupo normal de G.<br /><br />c) Para determinar se o subgrupo H é normal em G, precisamos mostrar que para todo g em G e h em H, temos ghg^(-1) em H. Vamos considerar g = (a b c d) e h = (1 2)(3 4), onde a, b, c e d são elementos de S4. Então, ghg^(-1) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (a b c d)^(-1) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3 4) * (d c b a) = (a b c d) * (1 2)(3