rereclua utilizado esse mesmo metodo [ y^prime prime+9 y=e^-2 x ]

Para resolver a equação diferencial \( y'' + 9y = e^{-2x} \), podemos usar o método dos coeficientes indeterminados. Este método é adequado porque temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo que é uma função exponencial.<br /><br />1. **Resolver a equação homogênea associada:**<br /><br /> A equação homogênea associada é:<br /> \[<br /> y'' + 9y = 0<br /> \]<br /><br /> A solução característica desta equação é obtida resolvendo a equação característica:<br /> \[<br /> r^2 + 9 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> r^2 = -9<br /> \]<br /> \[<br /> r = \pm 3i<br /> \]<br /><br /> Portanto, a solução geral da equação homogênea é:<br /> \[<br /> y_h(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)<br /> \]<br /><br />2. **Encontrar uma solução particular:**<br /><br /> Para encontrar uma solução particular \( y_p(x) \) da equação não homogênea \( y'' + 9y = e^{-2x} \), assumimos uma forma para \( y_p(x) \). Como o termo não homogêneo é \( e^{-2x} \), tentamos uma solução particular da forma:<br /> \[<br /> y_p(x) = Ae^{-2x}<br /> \]<br /><br /> Calculamos as derivadas de \( y_p(x) \):<br /> \[<br /> y_p'(x) = -2Ae^{-2x}<br /> \]<br /> \[<br /> y_p''(x) = 4Ae^{-2x}<br /> \]<br /><br /> Substituímos \( y_p(x) \), \( y_p'(x) \) e \( y_p''(x) \) na equação original:<br /> \[<br /> 4Ae^{-2x} + 9(Ae^{-2x}) = e^{-2x}<br /> \]<br /> \[<br /> (4A + 9A)e^{-2x} = e^{-2x}<br /> \]<br /> \[<br /> 13Ae^{-2x} = e^{-2x}<br /> \]<br /><br /> Comparando os coeficientes, obtemos:<br /> \[<br /> 13A = 1<br /> \]<br /> \[<br /> A = \frac{1}{13}<br /> \]<br /><br /> Portanto, a solução particular é:<br /> \[<br /> y_p(x) = \frac{1}{13}e^{-2x}<br /> \]<br /><br />3. **Solução geral da equação não homogênea:**<br /><br /> A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:<br /> \[<br /> y(x) = y_h(x) + y_p(x)<br /> \]<br /> \[<br /> y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) + \frac{1}{13}e^{-2x}<br /> \]<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial \( y'' + 9y = e^{-2x} \) é:<br />\[<br />y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) + \frac{1}{13}e^{-2x}<br />\]