Utilize o método de Newton Raphson para calcular o zero da função f(x)=sen(x)+x^3-8 com x_(0)=1,5e erro elt 0,001 Utilize seis casas decimais.

Para calcular o zero da função \( f(x) = \sin(x) + x^3 - 8 \) usando o método de Newton-Raphson, siga os seguintes passos:<br /><br />1. **Defina a função e sua derivada:**<br /> \[<br /> f(x) = \sin(x) + x^3 - 8<br /> \]<br /> \[<br /> f'(x) = \cos(x) + 3x^2<br /> \]<br /><br />2. **Escolha o ponto inicial \( x_0 \):**<br /> \[<br /> x_0 = 1.5<br /> \]<br /><br />3. **Iterações do método de Newton-Raphson:**<br /> \[<br /> x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}<br /> \]<br /><br />4. **Calcule \( x_1 \):**<br /> \[<br /> f(1.5) = \sin(1.5) + 1.5^3 - 8 \approx 0.997 + 3.375 - 8 = -4.628<br /> \]<br /> \[<br /> f'(1.5) = \cos(1.5) + 3 \cdot 1.5^2 \approx 0.071 + 6.75 = 6.821<br /> \]<br /> \[<br /> x_1 = 1.5 - \frac{0.997}{6.821} \approx 1.5 - 0.146 \approx 1.354<br /> \]<br /><br />5. **Calcule \( x_2 \):**<br /> \[<br /> f(1.354) \approx \sin(1.354) + 1.354^3 - 8 \approx 0.995 + 2.43 - 8 = -5.575<br /> \]<br /> \[<br /> f'(1.354) \approx \cos(1.354) + 3 \cdot 1.354^2 \approx 0.069 + 5.66 = 5.729<br /> \]<br /> \[<br /> x_2 = 1.354 - \frac{-5.575}{5.729} \approx 1.354 + 0.971 \approx 2.325<br /> \]<br /><br />6. **Calcule \( x_3 \):**<br /> \[<br /> f(2.325) \approx \sin(2.325) + 2.325^3 - 8 \approx 0.999 + 13.38 - 8 = 5.379<br /> \]<br /> \[<br /> f'(2.325) \approx \cos(2.325) + 3 \cdot 2.325^2 \approx -0.809 + 16.14 = 15.331<br /> \]<br /> \[<br /> x_3 = 2.325 - \frac{5.379}{15.331} \approx 2.325 - 0.350 \approx 1.975<br /> \]<br /><br />7. **Calcule \( x_4 \):**<br /> \[<br /> f(1.975) \approx \sin(1.975) + 1.975^3 - 8 \approx 0.998 + 7.73 - 8 = 718<br /> \]<br /> \[<br /> f'(1.975) \approx \cos(1.975) + 3 \cdot 1.975^2 \approx 0.014 + 11.66 = 11.674<br /> \]<br /> \[<br /> x_4 = 1.975 - \frac{0.718}{11.674} \approx 1.975 - 0.062 \approx 1.913<br /> \]<br /><br />8. **Calcule \( x_5 \):**<br /> \[<br /> f(1.913) \approx \sin(1.913) + 1.913^3 - 8 \approx 0.999 + 6.92 - 8 = -0.080<br /> \]<br /> \'(1.913) \approx \cos(1.913) + 3 \cdot 1.913^2 \approx 0.998 + 8.82 = 9.818<br /> \]<br /> \[<br /> x_5 = 1.913 - \frac{-0.080}{9.818} \approx 1.913 + 0.008 \approx 1.921<br /> \]<br /><br />9. **Calcule \( x_6 \):**<br /> \[<br /> f(1.921) \approx \sin(1.921) + 1.921^3 - 8 \approx 0.999 + 7.07 - 8