5. A raiz de f(x)=sqrt (x)-5e^-x aplicando o método da posição falsa com intervalo I=[1,4; 1,5] com xi =10^-2 1,238 1,224 1,431 0,257 1,360

Para encontrar a raiz da função \( f(x) = \sqrt{x} - 5e^{-x} \) usando o método da posição falsa, primeiro precisamos calcular os valores de \( f(x) \) nos pontos extremos do intervalo dado, \( I = [1, 4.5] \), e em um ponto intermediário \( \xi = 10^{-2} \).<br /><br />1. Calcule \( f(1) \):<br />\[ f(1) = \sqrt{1} - 5e^{-1} = 1 - \frac{5}{e} \]<br /><br />2. Calcule \( f(4.5) \):<br />\[ f(4.5) = \sqrt{4.5} - 5e^{-4.5} \]<br /><br />3. Calcule \( f(\xi) \):<br />\[ f(\xi) = f(10^{-2}) = \sqrt{10^{-2}} - 5e^{-10^{-2}} \]<br /><br />Vamos calcular esses valores:<br /><br />1. \( f(1) \):<br />\[ f(1) = 1 - \frac{5}{e} \approx 1 - 1.64872 = -0.64872 \]<br /><br />2. \( f(4.5) \):<br />\[ f(4.5) = \sqrt{4.5} - 5e^{-4.5} \approx 2.12132 - 0.01767 = 2.10365 \]<br /><br />3. \( f(\xi) \):<br />\[ f(10^{-2}) = \sqrt{10^{-2}} - 5e^{-10^{-2}} \approx 0.1 - 0.99501 = 0.00499 \]<br /><br />Agora, aplicando o método da posição falsa:<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{f(1) \cdot f(\xi)}{f(1) - f(\xi)} \]<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-0.64872 \cdot 0.00499}{-0.64872 - 0.00499} \]<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-3.256}{-0.65371} \approx 4.98 \]<br /><br />Como \( f(4.5) \) é positivo e \( f(1) \) é negativo, a raiz deve estar no intervalo \( [1, 4.5] \). Vamos tentar outro ponto intermediário:<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{f(1) \cdot f(4.5)}{f(1) - f(4.5)} \]<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-0.64872 \cdot 2.10365}{-0.64872 - 2.10365} \]<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-1.367}{-2.75237} \approx 0.494 \]<br /><br />Agora, vamos calcular \( f(0.494) \):<br /><br />\[ f(0.494) = \sqrt{0.494} - 5e^{-0.494} \approx 0.702 - 0.945 = 0.757 \]<br /><br />Como \( f(0.494) \) é positivo e \( f(1) \) é negativo, a raiz deve estar no intervalo \( [1, 0.494] \). Vamos tentar outro ponto intermediário:<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{f(1) \cdot f(0.494)}{f(1) - f(0.494)} \]<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-0.64872 \cdot 0.757}{-0.64872 - 0.757} \]<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-0.492}{-1.405} \approx 0.348 \]<br /><br />Agora, vamos calcular \( f(0.348) \):<br /><br />\[ f(0.348) = \sqrt{0.348} - 5e^{-0.348} \approx 0.589 - 0.957 = 0.632 \]<br /><br />Como \( f(0.348) \) é positivo e \( f(1) \) é negativo, a raiz deve estar no intervalo \( [1, 0.348] \). Vamos tentar outro ponto intermediário:<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{f(1) \cdot f(0.348)}{f(1) - f(0.348)} \]<br /><br />\[ \text{Nova posição} = \frac{-0.64872 \cdot 0.632}{-0.