A reta r, cuja equação geral é 2x+5y-k=0 em que ké uma constante positiva, intersecta os eixos xe y nos pontos A e B , respectivamente. Sabendo que a área do triângulo delimitado pelos pontos A, B e (0,0) é 20,0 valor de ké: s B 2sqrt (5) C 5sqrt (2) D 20 E 10

Para encontrar o valor de k, podemos usar a fórmula da área do triângulo. Sabemos que a área do triângulo é igual a 20, então podemos escrever a seguinte equação:<br /><br />$\frac{1}{2} \cdot |0 \cdot 5 + (-k) \cdot 2 + 0 \cdot 2| = 20$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$\frac{1}{2} \cdot | -2k | = 20$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2, temos:<br /><br />$| -2k | = 40$<br /><br />Como k é uma constante positiva, podemos remover o valor absoluto e teremos:<br /><br />$-2k = 40$<br /><br />Dividindo ambos os lados por -2, temos:<br /><br />$k = -20$<br /><br />No entanto, isso não faz sentido no contexto da questão, pois k é uma constante positiva. Vamos reconsiderar a abordagem.<br /><br />Vamos considerar os pontos de interseção da reta com os eixos:<br /><br />- Interseção com o eixo x: A = (-k/2, 0)<br />- Interseção com o eixo y: B = (0, k/5)<br /><br />Usando a fórmula da área do triângulo formado por esses pontos:<br /><br />$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |$<br /><br />Substituindo os pontos A, B e (0,0):<br /><br />$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot | (-k/2)(k/5 - 0) + 0(k/5 - (-k/2)) + 0((-k/2) - (k/5)) |$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot | (-k^2/10) | = \frac{k^2}{20}$<br /><br />Igualando à área dada:<br /><br />$\frac{k^2}{20} = 20$<br /><br />$k^2 = 400$<br /><br />$k = \sqrt{400} = 20$<br /><br />Portanto, o valor de k é 20. A resposta correta é a opção D.