Seja a transformação lincar L R^3arrow R^2 ,com L(x,y,z)=(x+y,2x+3x) Determine a) Seu núcleo b) Le injetiva Por quê?

Para resolver essa questão, vamos analisar a transformação linear L e determinar seu núcleo e se ela é injetiva.<br /><br />a) Núcleo da transformação L:<br />O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor nulo. Em outras palavras, é o conjunto de todos os vetores x tal que L(x) = 0.<br /><br />Aplicando a transformação L, temos:<br />L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z)<br /><br />Para que L(x, y, z) = 0, precisamos que ambas as coordenadas sejam zero:<br />x + y = 0<br />2x + 3z = 0<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos que o núcleo da transformação L é dado por:<br />x = -y<br />z = -2/3 * y<br /><br />Portanto, o núcleo da transformação L é o conjunto de todos os vetores da forma (-y, y, -2/3 * y), onde y é um escalar arbitrário.<br /><br />b) Se a transformação L é injetiva?<br />Uma transformação linear é injetiva se cada vetor do espaço de destino é imagem de no máximo um vetor do espaço de origem. Em outras palavras, se não existem dois vetores distintos x e y tal que L(x) = L(y).<br /><br />Para determinar se a transformação L é injetiva, podemos verificar se o núcleo da transformação é apenas o vetor nulo. Se o núcleo for apenas o vetor nulo, então a transformação é injetiva.<br /><br />No caso da transformação L, o núcleo é um subespaço não trivial (contém o vetor nulo e outros vetores), o que significa que a transformação L não é injetiva.<br /><br />Portanto, a transformação L não é injetiva.