A região dada sob a curva y=sqrt [4](4-x^2),1leqslant xleqslant 2 é girada ao redor do eixo x. Calcule o volume do sólido de revolução.

Para calcular o volume do sólido de revolução, podemos usar o método dos discos ou anéis. Neste caso, vamos usar o método dos discos.<br /><br />O volume de um disco é dado pela fórmula $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio e $h$ é a altura.<br /><br />No caso da curva $y = \sqrt[4]{4 - x^2}$, podemos considerar cada elemento de área sob a curva como um disco com raio $x$ e altura $dx$. Portanto, o volume de cada disco é dado por $dV = \pi x^2 dx$.<br /><br />Para calcular o volume total do sólido de revolução, precisamos integrar a função $dV$ de $x = 1$ a $x = 2$:<br /><br />$V = \int_{1}^{2} \pi x^2 dx$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$V = \pi \int_{1}^{2} x^2 dx$<br /><br />Para calcular a integral, podemos usar a fórmula da potência:<br /><br />$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$<br /><br />Aplicando essa fórmula, temos:<br /><br />$V = \pi \left( \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{1}^{2}$<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />$V = \pi \leftfrac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right)$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$V = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right)$<br /><br />$V = \pi \left( \frac{7}{3} \right)$<br /><br />Portanto, o volume do sólido de revolução é $\frac{7\pi}{3}$.