4. Seja Tuma transformação linear em R^3 dada por T(x,y,z)=(z,x-y,-z) Indique: a) Núcleo b) Dimensão da Im (T) (USE O TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM)

Para resolver essa questão, vamos aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem.<br /><br />a) Núcleo: O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor nulo. Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação T(x, y, z) = (0, 0, 0). Vamos substituir os valores de T(x, y, z) na equação:<br /><br />(z, x - y, -z) = (0, 0, 0)<br /><br />A partir dessa equação, podemos ver que z = 0 e x - y = 0. Portanto, x = y. Assim, o núcleo da transformação é dado por todos os vetores da forma (y, y, 0), onde y é um escalar qualquer.<br /><br />b) Dimensão da Imagem: A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como saída da transformação. Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos determinar o número de vetores linearmente independentes na imagem. Podemos fazer isso encontrando os vetores imagem correspondentes aos vetores base do espaço de domínio.<br /><br />Os vetores base do espaço de domínio são (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Aplicando a transformação T nesses vetores, obtemos:<br /><br />T(1, 0, 0) = (0, 1, 0)<br />T(0, 1, 0) = (-1, 1, 0)<br />T(0, 0, 1) = (0, -1, 0)<br /><br />Portanto, os vetores imagem correspondentes são (0, 1, 0), (-1, 1, 0) e (0, -1, 0). Podemos ver que esses vetores são linearmente independentes. Assim, a dimensão da imagem é 3.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />a) Núcleo: {(y, y, 0) | y é um escalar qualquer}<br />b) Dimensão da Imagem: 3