3 (Uece) Sobre a equação x^4-5x^2-36=0 é correto afirmar que a) possui quatro raizes reais. b) não possui raizes reais. c) a soma das suas raizes é igual a 5. d) possui quatro raizes complexas, das quais somente duas são reais.

Para resolver a equação \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\), podemos fazer uma substituição para transformá-la em uma equação quadrática. Seja \(y = x^2\), então a equação se torna:<br /><br />\[y^2 - 5y - 36 = 0\]<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]<br /><br />Onde \(a = 1\), \(b = -5\) e \(c = -36\). Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}\]<br />\[y = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2}\]<br />\[y = \frac{5 \pm 13}{2}\]<br /><br />Isso nos dá duas soluções para \(y\):<br /><br />\[y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9\]<br />\[y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4\]<br /><br />Como \(y = x^2\), temos:<br /><br />\[x^2 = 9 \implies x = \pm 3\]<br />\[x^2 = -4 \implies x = \pm 2i\]<br /><br />Portanto, a equação possui duas raízes reais (\(x = 3\) e \(x = -3\)) e duas raízes complexas (\(x = 2i\) e \(x = -2i\)).<br /><br />A soma das raízes reais é:<br /><br />\[3 + (-3) = 0\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />d) possui quatro raízes complexas, das quais somente duas são reais.