(1) Encontre x_(v) e y_(v) e determine a imagem de funcáo. a) f(x)=-x^2+14 x-48 b) g(x)=x^2-12 x+36 .

Para encontrar os valores de \( x \) e \( e \) e determinar a imagem da função, precisamos analisar cada função separadamente.<br /><br />a) Para a função \( f(x)=-x^{2}+14x-48 \), podemos encontrar os valores de \( x \) e \( e \) da seguinte forma:<br /><br />1. Para encontrar o valor de \( x \), podemos igualar a função a zero e resolver a equação quadrática:<br /><br />\(-x^{2}+14x-48 = 0\)<br /><br />Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:<br /><br />\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)<br /><br />Nesse caso, \(a = -1\), \(b = 14\) e \(c = -48\). Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />\(x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^{2}-4(-1)(-48)}}{2(-1)}\)<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:<br /><br />\(x = \frac{-14 \pm \sqrt{196-192}}{-2}\)<br /><br />\(x = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{-2}\)<br /><br />\(x = \frac{-14 \pm 2}{-2}\)<br /><br />Portanto, temos duas soluções para \( x \):<br /><br />\(x_1 = \frac{-14 + 2}{-2} = 6\)<br /><br />\(x_2 = \frac{-14 - 2}{-2} = 8\)<br /><br />2. Para encontrar o valor de \( e \), podemos substituir um dos valores de \( x \) encontrado na função e calcular o valor correspondente:<br /><br />\(f(6) = -6^{2}+14(6)-48 = -36+84-48 = 0\)<br /><br />\(f(8) = -8^{2}+14(8)-48 = -64+112-48 = 0\)<br /><br />Portanto, temos duas soluções para \( e \):<br /><br />\(e_1 = f(6) = 0\)<br /><br />\(e_2 = f(8) = 0\)<br /><br />3. Para determinar a imagem da função, precisamos encontrar o conjunto de todos os valores possíveis para \( f(x) \). Como a função é uma parábola voltada para baixo, sabemos que ela terá um valor máximo. Para encontrar esse valor, podemos calcular o vértice da parábola:<br /><br />\(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-14}{2(-1)} = 7\)<br /><br />Substituindo esse valor na função, temos:<br /><br />\(f(7) = -7^{2}+14(7)-48 = -49+98-48 = 1\)<br /><br />Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os valores menores ou iguais a 1.<br /><br />b) Para a função \( g(x)=x^{2}-12x+36 \), podemos encontrar os valores de \( x \) e \( e \) da seguinte forma:<br /><br />1. Para encontrar o valor de \( x \), podemos igualar a função a zero e resolver a equação quadrática:<br /><br />\(x^{2}-12x+36 = 0\)<br /><br />Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:<br /><br />\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)<br /><br />Nesse caso, \(a = 1\), \(b = -12\) e \(c = 36\). Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />\(x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^{2}-4(1)(36)}}{2(1)}\)<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:<br /><br />\(x = \frac{12 \pm \sqrt{144-144}}{2}\)<br /><br />\(x = \frac{12 \pm 0}{2}\)<br /><br />Portanto, temos uma solução única para \( x \):<br /><br />\(x = \frac{12}{2} = 6\)<br /><br />2. Para encontrar o valor de \( e \), podemos substituir o valor de \( x \) encontrado na função e calcular o valor correspondente:<br /><br />\(g(6) = 6^{2}-12(6)+36 = 36-72+36 = 0\)<br /><br />Portanto, temos uma solução única para \( e \):<br /><br />\(e = g(6) = 0\)<br /><br />3. Para determinar a imagem da função, precisamos encontrar o conjunto de todos