Teorema de Stokes pode ser visto como uma extensão do Teorema de Green, em que a principal diferença reside no numero de variáveis envolvidas enquanto o Teorema de Green se aplica a campos vetoriais bidimensionais, o Teorema de Stokes aborda campos vetoriais tridimensionais,enfatizando a relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada c uma integral de superficie sobre a superficie delimitada por essa curva. Dessa forma, para a integral de linha do campo vetorial F(x,y,z)=(2x^2,3x,y^2) onde C é o paraboloide z= 16-x^2-y^2c o plano z=0 orientado para baixo determine: a) (2 pontos) 0 rotacional do campo vetorial F. b) (2 pontos) 0 vetor normal sobre a superficie. c) (1 ponto) O produto escalar do rotacional e do vetor normal. d) (2 pontos) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superficie. e) (3 pontos) A resolução da integral pelo método de Stokes. Observação: apresentar todo o raciocínio e desenvolvimento na resolução da questão.

Vamos resolver cada item passo a passo:<br /><br />a) O rotacional do campo vetorial \( F(x,y,z) = (2x^2, 3x, y^2) \).<br /><br />O rotacional de \( F \) é dado por:<br />\[ \nabla \times F = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \]<br /><br />Calculando cada componente:<br />\[ \frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial y^2}{\partial y} = 2y \]<br />\[ \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial 3x}{\partial z} = 0 \]<br />\[ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial 2x^2}{\partial z} = 0 \]<br />\[ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial y^2}{\partial x} = 0 \]<br />\[ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial 3x}{\partial x} = 3 \]<br />\[ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial 2x^2}{\partial y} = 0 \]<br /><br />Portanto, o rotacional é:<br />\[ \nabla \times F = (2y - 0, 0 - 0, 3 - 0) = (2y, 0, 3) \]<br /><br />b) O vetor normal sobre a superfície.<br /><br />A superfície é dada pelo paraboloide \( z = 16 - x^2 - y^2 \). Para encontrar o vetor normal, podemos usar o gradiente da função implícita \( g(x, y, z) = z - 16 + x^2 + y^2 \).<br /><br />\[ \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \right) = (2x, 2y, 1) \]<br /><br />Como a superfície está orientada para baixo, o vetor normal será na direção oposta:<br />\[ \mathbf{n} = (-2x, -2y, -1) \]<br /><br />c) O produto escalar do rotacional e do vetor normal.<br /><br />\[ (\nabla \times F) \cdot \mathbf{n} = (2y, 0, 3) \cdot (-2x, -2y, -1) \]<br />\[ = 2y(-2x) + 0(-2y) + 3(-1) \]<br />\[ = -4xy - 3 \]<br /><br />d) A montagem da integral dupla usando o resultado do item c e a mudança para coordenadas polares da superfície.<br /><br />A integral de superfície é dada por:<br />\[ \iint_S (\nabla \times F) \cdot \mathbf{n} \, dS \]<br /><br />Convertendo para coordenadas polares:<br />\[ x = r \cos \theta \]<br />\[ y = r \sin \theta \]<br />\[ z = 16 - r^2 \]<br /><br />O Jacobiano da transformação é \( r \), então:<br />\[ dA = r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Substituindo na integral:<br />\[ \iint_S (-4xy - 3) \, dS = \iint_D (-4r^2 \cos \theta \sin \theta - 3) \, r \, dr \, d\theta \]<br /><br />e) A resolução da integral pelo método de Stokes.<br /><br />A região \( D \) é um círculo de raio 4 no plano \( z = 0 \):<br />\[ \int_0^{2\pi} \int_0^4 (-4r^2 \cos \theta \sin \theta - 3) \, r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Separando as integrais:<br />\[ \int_0^{2\pi} \int_0^4 (-4r^3 \cos \theta \sin \theta) \, dr \, d\theta - \int_0^{2\pi} \int_0^4 3r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Primeira integral:<br />\[ \int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta \int_0^4 -4r^3 \, dr \]<br /><br />Sabemos que:<br />\[ \int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = 0 \]<br /><br />Então a primeira integral é zero.<br /><br />Segunda integral:<br />\[ -3 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^4 r \, dr \]<br />\[ = -3 \cdot 2\pi \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^4 \]<br />\[ = -3 \cdot 2\pi \cdot \frac{16}{2} \]<br />\[ = -3 \cdot 2\pi \cdot 8 \]<br />\[ = -48\pi \]<br /><br />Portanto, a integral de superfície é:<br />\[ \iint_S (\nabla \times F) \cdot \mathbf{n} \, dS = -48\pi \]