Determine a equação vetorial da reta tangente à curva formada pela intersecção do parabolóide z=x^2+y^2 com o elipsoide 4x^2+y^2+z^2=9 no ponto (-1,1,2) Escolha uma opção: a (x,y,z)=(-1,1,2)+lambda (-8,2,4),lambda in R b (x,y,z)=(2,2,-1)+lambda (-8,2,4),lambda in R C (x,y,z)=(-1,1,2)+lambda (-2,2,-1),lambda in R d. (x,y,z)=(-1,1,2)+lambda (-10,-16,-12),lambda in R e. N.D.A.

Para determinar a equação vetorial da reta tangente à curva formada pela intersecção do parabolóide $z=x^{2}+y^{2}$ com o elipsoide $4x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no ponto $(-1,1,2)$, precisamos calcular as derivadas parciais das equações do parabolóide e do elipsoide em relação a $x$, $y$ e $z$.<br /><br />Derivando a equação do parabolóide em relação a $x$, obtemos $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$. Derivando em relação a $y$, obtemos $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$. Derivando em relação a $z$, obtemos $\frac{\partial x}{\partial z} = 0$ e $\frac{\partial y}{\partial z} = 0$.<br /><br />Derivando a equação do elipsoide em relação a $x$, obtemos $\frac{\partial x}{\partial x} = 8$, $\frac{\partial y}{\partial x} = 0$ e $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$. Derivando em relação a $y$, obtemos $\frac{\partial x}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial y}{\partial y} = 1$ e $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$. Derivando em relação a $z$, obtemos $\frac{\partial x}{\partial z} = 0$, $\frac{\partial y}{\partial z} = 0$ e $\frac{\partial z}{\partial z} = 1$.<br /><br />Agora, substituímos as coordenadas do ponto $(-1,1,2)$ nas derivadas parciais obtidas acima para obter os coeficientes da equação vetorial da reta tangente.<br /><br />Substituindo $x=-1$, $y=1$ e $z=2$ nas derivadas parciais do parabolóide, temos:<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(-1) = -2$<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(1) = 2$<br /><br />$\frac{\partial x}{\partial z} = 0$<br /><br />$\frac{\partial y}{\partial z} = 0$<br /><br />Substituindo $x=-1$, $y=1$ e $z=2$ nas derivadas parciais do elipsoide, temos:<br /><br />$\frac{\partial x}{\partial x} = 8$<br /><br />$\frac{\partial y}{\partial x} = 0$<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(-1) = -2$<br /><br />$\frac{\partial x}{\partial y} = 0$<br /><br />$\frac{\partial y}{\partial y} = 1$<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(1) = 2$<br /><br />$\frac{\partial x}{\partial z} = 0$<br /><br />$\frac{\partial y}{\partial z} = 0$<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial z} = 1$<br /><br />Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta tangente como:<br /><br />$(x,y,z) = (-1,1,2) + \lambda (-2,2,-2)$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção c: $(x,y,z)=(-1,1,2)+\lambda (-2,2,-1),\lambda \in R$.