Quertio 5: Para resolver equacle differencial de varilivels separdwels devemos separar os termos de Xin Y rem int adu=aint du(int du+dv-du)=int du+int dv-int du,iint _(v)du=(v^2)/(u+1)(nast -1)_(d) cometo entio integrar or termos, Sabendo que afirmar que a solução da equaçlo diferencial (x-4)y^4dx-x^3(y^2-3)dy=0

Para resolver a equação diferencial $(x-4)y^{4}dx-x^{3}(y^{2}-3)dy=0$, podemos usar a técnica de separação de variáveis. Vamos separar os termos da equação:<br /><br />$(x-4)y^{4}dx = x^{3}(y^{2}-3)dy$<br /><br />Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por $y^{4}x^{3}$:<br /><br />$\frac{(x-4)}{x^{3}}dx = \frac{(y^{2}-3)}{y^{4}}dy$<br /><br />Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:<br /><br />$\int \frac{(x-4)}{x^{3}}dx = \int \frac{(y^{2}-3)}{y^{4}}dy$<br /><br />Ao integrar, obtemos:<br /><br />$\int \frac{1}{x^{2}}dx - \int \frac{4}{x^{3}}dx = \int \frac{1}{y^{2}}dy - \int \frac{3}{y^{4}}dy$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$-\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} = -\frac{1}{y} + \frac{3}{2y^{3}} + C$<br /><br />onde $C$ é a constante de integração.<br /><br />Agora, podemos resolver para $y$ em termos de $x$:<br /><br />$-\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} = -\frac{1}{y} + \frac{3}{2y^{3}} + C$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $-1$:<br /><br />$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{3}{2y^{3}} - C$<br /><br />Agora, podemos resolver para $y$ em termos de $x$:<br /><br />$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{2y^{3}} + C$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $y$:<br /><br />$1 = y\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{2y^{2}} + C\right)$<br /><br />Agora, podemos resolver para $y$ em termos de $x$:<br /><br />$y = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{2y^{2}} + C}$<br /><br />Portanto, a solução da equação diferencial $(x-4)y^{4}dx-x^{3}(y^{2}-3)dy=0$ é dada por $y = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{2y^{2}} + C}$.