PERGUNTA 6 Considere a função f(x)=(2)/(x) Determine o valor de b para o qual a região delimitada la pelo gráfico de f(x) e pelas retas y= a b=e^(2)/(3) b. b=e^-(2)/(3) C b=(3e)/(2) d. b=e^(3)/(2) e b=e^-(3)/(2)

Para determinar o valor de \( b \) para o qual a região delimitada pela curva \( f(x) = \frac{2}{x} \) e pelas retas \( y = b \) tem uma área igual a 1, podemos usar a integral definida.<br /><br />A área sob a curva \( f(x) = \frac{2}{x} \) entre os limites de \( x = 1 \) e \( x = e^2 \) é dada pela integral:<br /><br />\[ \int_{1}^{e^2} \frac{2}{x} \, dx \]<br /><br />Calculando essa integral, temos:<br /><br />\[ 2 \int_{1}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = 2 \left[ \ln(x) \right]_{1}^{e^2} = 2 \left( \ln(e^2) - \ln(1) \right) = 2 \left( 2 - 0 \right) = 4 \]<br /><br />Portanto, a área sob a curva é 4. Para que essa área seja igual a 1, precisamos dividir por 4:<br /><br />\[ \frac{4}{4} = 1 \]<br /><br />Agora, considerando a reta \( y = b \), precisamos encontrar o valor de \( b \) para que a área entre a curva e a reta seja igual a 1. Isso significa que a integral entre os limites de \( x \) que satisfazem \( \frac{2}{x} = b \) deve ser igual a 1.<br /><br />Resolvendo \( \frac{2}{x} = b \) para \( x \), temos:<br /><br />\[ x = \frac{2}{b} \]<br /><br />Substituindo isso na integral, temos:<br /><br />\[ \int_{1}^{\frac{2}{b}} \frac{2}{x} \, dx = 1 \]<br /><br />Calculando essa integral, temos:<br /><br />\[ 2 \int_{1}^{\frac{2}{b}} \frac{1}{x} \, dx = 2 \left[ \ln(x) \right]_{1}^{\frac{2}{b}} = 2 \left( \ln\left(\frac{2}{b}\right) - \ln(1) \right) = 2 \ln\left(\frac{2}{b}\right) \]<br /><br />Para que essa integral seja igual a 1, precisamos que:<br /><br />\[ 2 \ln\left(\frac{2}{b}\right) = \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 2, temos:<br /><br />\[ \ln\left(\frac{2}{b}\right) = \frac{1}{2} \]<br /><br />Exponenciando ambos os lados em base \( e \), temos:<br /><br />\[ \frac{2}{b} = e^{\frac{1}{2}} \]<br /><br />Portanto, o valor de \( b \) é:<br /><br />\[ b = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} = 2e^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} = 2 \cdot e^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />b. \( b = e^{-\frac{1}{2}} \)