SEGUNDA ATIVIDADE AVALIATIVA PARCIAL 1. Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=x^2-3y pela definição. 2. Calcule pela definição a derivada direcional das seguintes funçōes. (a) f(x,y)=-x+y no ponto a=(1,-1) e na direção u=(0,-1) (b) f(x,y,z)=2x+y-3z no ponto a=(1,1,-1) e na direção u=((1)/(sqrt (3)),(1)/(sqrt (3)),(1)/(sqrt (3)))

1. Para calcular as derivadas parciais de \( f(x,y) = x^2 - 3y \) pela definição, vamos calcular a derivada parcial em relação a \( x \) e a derivada parcial em relação a \( y \).<br /><br />A derivada parcial em relação a \( x \) é dada por:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]<br /><br />Substituindo \( f(x, y) = x^2 - 3y \) na fórmula, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - 3y - (x^2 - 3y)}{h} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3y - x^2 + 3y}{h} \]<br /><br />Cancelando os termos semelhantes, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \]<br /><br />Cancelando \( h \) no numerador e no denominador, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} (2x + h) \]<br /><br />Como \( h \) tende a zero, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \]<br /><br />Portanto, a derivada parcial em relação a \( x \) é \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \).<br /><br />A derivada parcial em relação a \( y \) é dada por:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h} \]<br /><br />Substituindo \( f(x, y) = x^2 - 3y \) na fórmula, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - 3(y+h) - (x^2 - 3y)}{h} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - 3y - 3h - x^2 + 3y}{h} \]<br /><br />Cancelando os termos semelhantes, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{-3h}{h} \]<br /><br />Cancelando \( h \) no numerador e no denominador, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} (-3) \]<br /><br />Como \( h \) tende a zero, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = -3 \]<br /><br />Portanto, a derivada parcial em relação a \( y \) é \( \frac{\partial f}{\partial y} = -3 \).<br /><br />2. (a) Para calcular a derivada direcional de \( f(x, y) = -x + y \) no ponto \( a = (1, -1) \) na direção \( u = (0, -1) \), vamos usar a fórmula da derivada direcional:<br />\[ \nabla_{u} f(a) = \frac{\partial f}{\partial x}(a) \cdot u_x + \frac{\partial f}{\partial y}(a) \cdot u_y \]<br /><br />Calculando as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) em \( f(x, y) = -x + y \), temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = -1 \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 1 \]<br /><br />Substituindo \( a = (1, -1) \) e \( u = (0, -1) \) na fórmula, temos:<br />\[ \nabla_{u} f(a) = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = -1 \]<br /><br />Portanto, a derivada direcional de \( f(x, y) = -x