1. Calcule pela definição a derivada direcional das seguintes funcoes. (a) f(x,y)=x+y no ponto a=(1,1) e na direção u=(1,0) (b) f(x,y)=x^2+y^2 no ponto a=(1,2) e na direção u=(-1,0) (c) f(x,y)=x-2y no ponto a=(3,1) e na direção u=((1)/(sqrt (2)),(1)/(sqrt (2))) (d) f(x,y)=e^x+y no ponto a=(1,1) e na direção u=(0,1) (e) f(x,y)=sinx+cosy no ponto a=(0,(pi )/(3)) e na direção u=(-1,0)

(a) Para calcular a derivada direcional de \( f(x, y) = x + y \) no ponto \( a = (1, 1) \) na direção \( u = (1, 0) \), primeiro encontramos o gradiente de \( f \):<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (1, 1) \]<br /><br />Em seguida, normalizamos \( u \) para obter o vetor unitário na direção desejada:<br /><br />\[ \hat{u} = \frac{u}{\|u\|} = \frac{(1, 0)}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = (1, 0) \]<br /><br />A derivada direcional é então dada por:<br /><br />\[ D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot \hat{u} = (1, 1) \cdot (1, 0) = 1 \]<br /><br />(b) Para \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( a = (1, 2) \) na direção \( u = (-1, 0) \):<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = (2x, 2y) \]<br /><br />Em \( a = (1, 2) \):<br /><br />\[ \nabla f(1, 2) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4) \]<br /><br />Normalizando \( u = (-1, 0) \):<br /><br />\[ \hat{u} = \frac{(-1, 0)}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2}} = (-1, 0) \]<br /><br />A derivada direcional é:<br /><br />\[ D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot \hat{u} = (2, 4) \cdot (-1, 0) = -2 \]<br /><br />(c) Para \( f(x, y) = x - 2y \) no ponto \( a = (3, 1) \) na direção \( u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \):<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = (1, -2) \]<br /><br />Em \( a = (3, 1) \):<br /><br />\[ \nabla f(3, 1) = (1, -2) \]<br /><br />Normalizando \( u \):<br /><br />\[ \hat{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]<br /><br />A derivada direcional é:<br /><br />\[ D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot \hat{u} = (1, -2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]<br /><br />(d) Para \( f(x, y) = e^{x+y} \) no ponto \( a = (1, 1) \) na direção \( u = (0, 1) \):<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = (e^{x+y}, e^{x+y}) \]<br /><br />Em \( a = (1, 1) \):<br /><br />\[ \nabla f(1, 1) = (e^2, e^2) \]<br /><br />Normalizando \( u = (0, 1) \):<br /><br />\[ \hat{u} = (0, 1) \]<br /><br />A derivada direcional é:<br /><br />\[ D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot \hat{u} = (e^2, e^2) \cdot (0, 1) = e^2 \]<br /><br />(e) Para \( f(x, y) = \sin(x) + \cos(y) \) no ponto \( a = (0, \frac{\pi}{3}) \) na direção \( u = (-1, 0) \):<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = (\cos(x), -\sin(y)) \]<br /><br />Em \( a = (0, \frac{\pi}{3}) \):<br /><br />\[ \nabla f(0, \frac{\pi}{3}) = (\cos(0), -\sin(\frac{\pi}{3})) = (1, -\frac{\