5. Mostrar por indução matemática que (1)/(2^1)+(1)/(2^2)+ldots +(1)/(2^n)=1-frac (1){2^{ nin N

Para mostrar por indução matemática que a expressão $\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$ é verdadeira para todo $n \in \mathbb{N}$, precisamos realizar dois passos: a base da indução e a passagem de indução.<br /><br />**Base da Indução:**<br /><br />Para $n = 1$, temos:<br /><br />$\frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$<br /><br />E a expressão $1 - \frac{1}{2^1}$ também é igual a $\frac{1}{2}$.<br /><br />Portanto, a base da indução é verdadeira.<br /><br />**Passagem de Indução:**<br /><br />Suponha que a expressão seja verdadeira para algum $k \in \mathbb{N}$, ou seja:<br /><br />$\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^k}$<br /><br />Queremos mostrar que a expressão também é verdadeira para $k + 1$, ou seja:<br /><br />$\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$<br /><br />Para isso, podemos adicionar $\frac{1}{2^{k+1}}$ em ambos os lados da equação anterior:<br /><br />$\left(\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^{k+1}} = \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^{k+1}}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}}$<br /><br />Podemos reescrever $\frac{1}{2^{k+1}}$ como $\frac{1}{2^k \cdot 2}$ e, em seguida, simplificar:<br /><br />$1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}}$<br /><br />Portanto, a expressão é verdadeira para $k + 1$.<br /><br />Concluímos que a expressão $\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$ é verdadeira para todo $n \in \mathbb{N}$ por indução matemática.