Seja a função g(x)=x^4-24x^2+8x+5 Marque o intervalo no qual esta função tem concavidade para baixo. A (-infty ,-2) B (-2,2) C (-infty ,0) D (0,2) E (-2,3)

Para determinar o intervalo em que a função \( g(x) = x^4 - 24x^2 + 8x + 5 \) tem concavidade para baixo, precisamos analisar o segundo derivado da função.<br /><br />Primeiro, calculamos a primeira derivada:<br />\[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 24x^2 + 8x + 5) = 4x^3 - 48x + 8 \]<br /><br />Em seguida, calculamos a segunda derivada:<br />\[ g''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 48x + 8) = 12x^2 - 48 \]<br /><br />Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:<br />\[ 12x^2 - 48 = 0 \]<br />\[ 12x^2 = 48 \]<br />\[ x^2 = 4 \]<br />\[ x = \pm 2 \]<br /><br />Agora, precisamos determinar a concavidade da função nos intervalos determinados pelos pontos de inflexão \( x = -2 \) e \( x = 2 \). Para isso, escolhemos um ponto em cada intervalo e avaliamos a segunda derivada:<br /><br />1. Intervalo \( (-\infty, -2) \):<br /> Escolha \( x = -3 \):<br /> \[ g''(-3) = 12(-3)^2 - 48 = 12(9) - 48 = 108 - 48 = 60 \]<br /> Como \( g''(-3) > 0 \), a função é côncava para cima nesse intervalo.<br /><br />2. Intervalo \( (-2, 2) \):<br /> Escolha \( x = 0 \):<br /> \[ g''(0) = 12(0)^2 - 48 = -48 \]<br /> Como \( g''(0) < 0 \), a função é côncava para baixo nesse intervalo.<br /><br />3. Intervalo \( (2, \infty) \):<br /> Escolha \( x = 3 \):<br /> \[ g''(3) = 12(3)^2 - 48 = 12(9) - 48 = 108 - 48 = 60 \]<br /> Como \( g''(3) > 0 \), a função é côncava para cima nesse intervalo.<br /><br />Portanto, a função \( g(x) \) tem concavidade para baixo no intervalo \( (-2, 2) \).<br /><br />A resposta correta é:<br />B \( (-2, 2) \)