3. Considere o campo overrightarrow (F)(x,y,z)=-2xzi+senyj-x^2k a) Verifique a independência do caminho. b) Calcule int _((1,0,3))^(2,1)overrightarrow (F)doverrightarrow (r)

Para resolver a integral de linha \(\int_{(1,0,3)}^{(2,1)} \overrightarrow{F} \, d\overrightarrow{r}\), precisamos calcular a integral da força \(\overrightarrow{F}\) ao longo do caminho dado por \(\overrightarrow{r}(t) = (1 + t, t, 3 + 2t)\), onde \(t\) varia de 0 a 1.<br /><br />Primeiro, calculamos \(\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t))\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{r}(t) = (1 + t, t, 3 + 2t)<br />\]<br /><br />Substituindo \(\overrightarrow{r}(t)\) na força \(\overrightarrow{F}\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t)) = -2(1 + t)zi + \sin(t)j - (1 + t)^2k<br />\]<br /><br />Agora, calculamos \(d\overrightarrow{r}\):<br /><br />\[<br />d\overrightarrow{r} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} dt = (1, 1, 2) dt<br />\]<br /><br />Multiplicamos \(\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t))\) por \(d\overrightarrow{r}\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t)) \cdot d\overrightarrow{r} = \left[ -2(1 + t)z i + \sin(t)j - (1 + t)^2k \right] \cdot (1, 1, 2) dt<br />\]<br /><br />\[<br />= \left[ -2(1 + t)z \cdot 1 + \sin(t) \cdot 1 - (1 + t)^2 \cdot 2 \right] dt<br />\]<br /><br />\[<br />= \left[ -2(1 + t)z + \sin(t) - 2(1 + t)^2 \right] dt<br />\]<br /><br />Agora, integramos essa expressão de 0 a 1:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \left[ -2(1 + t)z + \sin(t) - 2(1 + t)^2 \right] dt<br />\]<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos considerar os valores de \(z\). Como \(z\) não foi especificado, vamos assumir que \(z\) é uma constante. Vamos calcular a integral para \(z = 1\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \left[ -2(1 + t) \cdot 1 + \sin(t) - 2(1 + t)^2 \right] dt<br />\]<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{1} \left[ -2(1 + t) + \sin(t) - 2(1 + t)^2 \right] dt<br />\]<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{1} \left[ -2 - 2t + \sin(t) - 2 - 4t - 2t^2 \right] dt<br />\]<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{1} \left[ -4 - 6t + \sin(t) - 2t^2 \right] dt<br />\]<br /><br />Calculamos cada parte separadamente:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} -4 \, dt = -4 \cdot (1 - 0) = -4<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} -6t \, dt = -6 \int_{0}^{1} t \, dt = -6 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = -6 \cdot \frac{1}{2} = -3<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \sin(t) \, dt = \left[ -\cos(t) \right]_{0}^{1} = -\cos(1) + \cos(0) = -\cos(1) + 1<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} -2t^2 \, dt = -2 \int_{0}^{1} t^2 \, dt = -2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} = -2 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}<br />\]<br /><br />Somando todas as partes:<br /><br />\[<br />-4 - 3 + \left(1 - \cos(1)\right) - \frac{2}{3}<br />\]<br /><br />\[<br />= -7