5.(400) Para um campo vetorial T, um ponto P será sorvedouro ou fonte se div T(P)lt 0 e div T(P)gt 0 respectivamente.Considerando os pontos P_(1)(1,2) e P_(2)(1,-2) e os campos vetoriais overrightarrow (F)=x^2i-y^2j e overrightarrow (G)=xyi+xyj Podemos afirmar que: I) P_(1) é fonte de F e sorvedouro de G. II) P_(1) é sorvedouro de F e fonte de G. III) P_(2) é fonte de F e sorvedouro de G. IV) P_(2) é sorvedouro de F e fonte de G. Marque a alternativa que indica a sequencia correta de verdadeiro e falso acerca das afirmativas anteriores.

Question

Pergunta

5.(400) Para um campo vetorial T, um ponto P será sorvedouro ou fonte se div T(P)lt 0 e div T(P)gt 0 respectivamente.Considerando os pontos P_(1)(1,2) e P_(2)(1,-2) e os campos vetoriais overrightarrow (F)=x^2i-y^2j e overrightarrow (G)=xyi+xyj Podemos afirmar que: I) P_(1) é fonte de F e sorvedouro de G. II) P_(1) é sorvedouro de F e fonte de G. III) P_(2) é fonte de F e sorvedouro de G. IV) P_(2) é sorvedouro de F e fonte de G. Marque a alternativa que indica a sequencia correta de verdadeiro e falso acerca das afirmativas anteriores.

Answer 1

Para determinar se um ponto é fonte ou sumidouro campo vetorial, devemos calcular o divergente do campo vetorial em cada ponto. O divergente de um campo vetorial \( \overrightarrow{T} \) é dado por: \[ \text{div} \, \overrightarrow{T} = \nabla \cdot \overrightarrow{T} \] Para os campos vetoriais fornecidos: 1. \(\overrightarrow{F} = x^2 \mathbf{i} - y^2 \mathbf{j}\) Calculamos o divergente: \[ \text{div} \, \overrightarrow{F} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (y^2)}{\partial y} = 2x - 2y \] Para \( P_1(1,2) \): \[ \text{div} \, \overrightarrow{F}(1,2) = 2(1) - 2(2) = 2 - 4 = -2 \] Para \( P_2(1,-2) \): \[ \text{div} \, \overrightarrow{F}(1,-2) = 2(1) - 2(-2) = 2 + 4 = 6 \] 2. \(\overrightarrow{G} = xy \mathbf{i} + xy \mathbf{j}\) Calculamos o divergente: \[ \text{div} \, \overrightarrow{G} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} + \frac{\partial (xy)}{\partial y} = y + x \] Para \( P_1(1,2) \): \[ \text{div} \, \overrightarrow{G}(1,2) = 2 + 1 = 3 \] Para \( P_2(1,-2) \): \[ \text{div} \, \overrightarrow{G}(1,-2) = -2 + 1 = -1 \] Agora, analisamos as afirmações: I) \( P_1 \) é fonte de \( \overrightarrow{F} \) e sumidouro de \( \overrightarrow{G} \). Para \( P_1(1,2) \): - \(\text{div} \, \overrightarrow{F}(1,2) = -2\) (sumidouro) - \(\text{div} \, \overrightarrow{G}(1,2) = 3\) (fonte) II) \( P_1 \) é sumidouro de \( \overrightarrow{F} \) e fonte de \( \overrightarrow{G} \). Para \( P_1(1,2) \): - \(\text{div} \, \overrightarrow{F}(1,2) = -2\) (sumidouro) - \(\text{div} \, \overrightarrow{G}(1,2) = 3\) (fonte) III) \( P_2 \) é fonte de \( \overrightarrow{F} \) e sumidouro de \( \overrightarrow{G} \). Para \( P_2(1,-2) \): - \(\text{div} \, \overrightarrow{F}(1,-2) = 6\) (fonte) - \(\text{div} \, \overrightarrow{G}(1,-2) = -1\) (sumidouro) IV) \( P_2 \) é sumidouro de \( \overrightarrow{F} \) e fonte de \( \overrightarrow{G} \). Para \( P_2(1,-2) \): - \(\text{div} \, \overrightarrow{F}(1,-2) = 6\) (fonte) - \(\text{div} \, \overrightarrow{G}(1,-2) = -1\) (sumidouro) Portanto, a sequência correta de verdadeiro e falso acerca das afirmações é: II) \( P_1 \) é sumidouro de \( \overrightarrow{F} \) e fonte de \( \overrightarrow{G} \). III) \( P_2 \) é fonte de \( \overrightarrow{F} \) e sumidouro de \( \overrightarrow{G} \).

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