5) 4) UERJ - 2016 Observe a função f definida por: f(x)=x^2-2kx+29 para xin R Se f(x)geqslant 4 para todo número real x, o valor mínimo da função fé 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: a) 5 b) 6 C) 10 d) 15

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o valor de k que satisfaz a condição dada: f(x) ≥ 4 para todo número real x.<br /><br />A função f(x) é uma função quadrática, e podemos observar que o coeficiente do termo quadrático é positivo (1), o que significa que a parábola é aberta para cima.<br /><br />Para encontrar o valor mínimo da função, podemos usar o vértice da parábola. O vértice de uma parábola da forma f(x) = ax^2 + bx + c é dado por x = -b/2a.<br /><br />No caso da função f(x) = x^2 - 2kx + 29, temos a = 1 e b = -2k. Substituindo esses valores na fórmula do vértice, temos:<br /><br />x = -(-2k)/(2*1) = k/1 = k<br /><br />Agora, substituindo esse valor de x na função f(x), temos:<br /><br />f(k) = k^2 - 2k*k + 29 = k^2 - 2k^2 + 29 = -k^2 + 29<br /><br />De acordo com a condição dada, f(x) ≥ 4 para todo número real x. Portanto, o valor mínimo da função é igual a 4:<br /><br />-k^2 + 29 ≥ 4<br /><br />Simplificando a inequação, temos:<br /><br />-k^2 ≥ -25<br /><br />Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo o sinal da inequação), temos:<br /><br />k^2 ≤ 25<br /><br />Tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos:<br /><br />|k| ≤ 5<br /><br />Isso significa que o valor de k deve estar dentro do intervalo entre -5 e 5. No entanto, o problema pede o valor positivo de k. Portanto, o valor de k que satisfaz a condição dada é k = 5.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a alternativa a) 5.