Os volumes dos sólidos de rotação podem ser estudados, dentre outros conceitos, pelas integrais de funções de uma variável real Considere o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y,da regiāo limitada pelas seguintes curvas: y=0,25x^2,y=0,y=4 e x=0 Assinale a alternativa que contém o volume do sólido formado 4pi uv. 32pi uN 16pi u. 64pi uN. 64/5pi u.

Para calcular o volume do sólido de rotação, podemos usar o método das discos ou anéis. Neste caso, vamos usar o método das discos.<br /><br />O sólido é formado pela rotação da região limitada pelas curvas \(y = 0,25x^2\), \(y = 0\), \(y = 4\) e \(x = 0\) em torno do eixo y.<br /><br />Para calcular o volume, precisamos integrar a área de cada disco em relação a x. A área de cada disco é dada por \(A(x) = \pi (f(x))^2\), onde \(f(x)\) é a função que define a curva.<br /><br />Neste caso, a função que define a curva é \(y = 0,25x^2\). Portanto, a área de cada disco é dada por \(A(x) = \pi (0,25x^2)^2\).<br /><br />Para calcular o volume, precisamos integrar a área de cada disco em relação a x. O limite inferior da integral é 0 e o limite superior é a raiz quadrada de 16, pois \(0,25x^2 = 4\) quando \(x = 4\).<br /><br />Portanto, o volume do sólido é dado por:<br /><br />\[V = \int_{0}^{\sqrt{16}} \pi (0,25x^2)^2 \, dx\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro da integral, temos:<br /><br />\[V = \pi \int_{0}^{\sqrt{16}} (0,0625x^4) \, dx\]<br /><br />Integrando a função, temos:<br /><br />\[V = \pi \left[ \frac{0,0625x^5}{5} \right]_{0}^{\sqrt{16}}\]<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />\[V = \pi \left[ \frac{0,0625(16)^5}{5} - \frac{0,0625(0)^5}{5} \right]\]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[V = \pi \left[ \frac{0,0625(1024)}{5} \right]\]<br /><br />\[V = \pi \left[ \frac{64}{5} \right]\]<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br /><br />\[64/5\pi u.\]