3. Calcule int _(Y)xdx+ydy+zdz onde yé o segmento de extremidades (0,0,0) (1,2,1) percorrido no sentido de (1,2,1) para (0,0,0)

Para calcular a integral de linha dada, podemos usar a fórmula da integral de linha:<br /><br />$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$<br /><br />onde $\mathbf{F}$ é o campo vetorial dado, $\mathbf{r}$ é a curva parametrizada e $t$ é o parâmetro.<br /><br />Neste caso, o campo vetorial é $\mathbf{F} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$, onde $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ e $\mathbf{k}$ são os vetores unitários nas direções $x$, $y$ e $z$, respectivamente.<br /><br />A curva é o segmento de extremidades $(0,0,0)$ e $(1,2,1)$ percorrido no sentido de $(1,2,1)$ para $(0,0,0)$. Podemos parametrizar essa curva como $\mathbf{r}(t) = (1-t) \mathbf{i} + 2(1-t) \mathbf{j} + (1-t) \mathbf{k}$, onde $t$ varia de $0$ a $1$.<br /><br />Agora podemos calcular a derivada de $\mathbf{r}(t)$ em relação a $t$:<br /><br />$\mathbf{r}'(t) = -\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k}$<br /><br />Substituindo $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ e $\mathbf{r}'(t)$ na fórmula da integral de linha, temos:<br /><br />$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} (1-t) \mathbf{i} + 2(1-t) \mathbf{j} + (1-t) \mathbf{k} \cdot (-\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) dt$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} -(1-t)^2 + 2(1-t)^2 - (1-t)^2 dt$<br /><br />$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} -2(1-t)^2 + 2(1-t)^2 dt$<br /><br />$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} 0 dt$<br /><br />$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$<br /><br />Portanto, o valor da integral de linha é igual a zero.