lim _(xarrow 3)(x^2-9)/(1-sqrt (4-x))=

Para limite, podemos usar o método de simplificação. Vamos começar simplificando o numerador e o denominador:<br /><br />No numerador, temos $x^2 - 9$. Podemos fatorar essa expressão como $(x + 3)(x - 3)$.<br /><br />No denominador, temos $1 - \sqrt{4 - x}$. Podemos reescrever essa expressão como $1 - \sqrt{4 - x} = 1 - \sqrt{4 - x}$.<br /><br />Agora, podemos substituir essas simplificações no limite original:<br /><br />$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x + 3)(x - 3)}{1 - \sqrt{4 - x}}$<br /><br />Podemos ver que o denominador não se anula quando $x = 3$, então podemos substituir $x = :<br /><br />$\frac{(3 + 3)(3 - 3)}{1 - \sqrt{4 - 3}} = \frac{6 \cdot 0}{1 - \sqrt{1}} = \frac{0}{1 - 1} = \frac{0}{0}$<br /><br />Aqui, obtemos uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Para resolver esse tipo de limite, podemos usar métodos como a regra de L'Hôpital ou simplificação adicional. Vamos usar a regra de L'Hôpital, que nos diz que se $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ resulta em $\frac{0}{0}$frac{\infty}{\infty}$, então podemos calcular $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ em vez disso.<br /><br />Calculando as derivadas de $f(x) = (x + 3)(x - 3)$ e $g(x) = 1 - \sqrt{4 - x}$, temos:<br /><br />$f'(x) = 2x$<br /><br />$g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital:<br /><br />$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x + 3)(x - 3)}{1 - \sqrt{4 - x}} = \lim_{x \ \frac{2x}{-\frac{1}{2\sqrt{4 - x}}}$<br /><br />Podemos simplificar esse limite:<br /><br />$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x}{-\frac{1}{2\sqrt{4 - x}}} = \lim_{x \rightarrow 3} -4x\sqrt{4 - x}$<br /><br />Substituindo $x = 3$:<br /><br />$-4(3)\sqrt{4 - 3} = -12\sqrt{1} = -12$<br /><br />Portanto, o limite é igual a $-12$.