PERGUNTA 6 Considere a função f(x)=(2)/(x) Determine o valor de b para o qual a região delimitada pelo gráfico de f(x) e pelas retas y=0,x=1 e x=b possua área igu b=e^(2)/(3) b. b=e^-(2)/(3) c b=(3e)/(2) d. b=e^(3)/(2) e b=e^-(3)/(2)

Para determinar o valor de \( b \) para o qual a área da região delimitada pelo gráfico de \( f(x) = \frac{2}{x} \) e pelas retas \( y = 0 \), \( x = 1 \) e \( x = b \) seja igual, podemos calcular a integral da função \( f(x) \) entre esses limites.<br /><br />A área da região é dada pela integral:<br /><br />\[ \int_{1}^{b} \frac{2}{x} \, dx \]<br /><br />Calculando essa integral, temos:<br /><br />\[ \int_{1}^{b} \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln(x) \Bigg|_{1}^{b} = 2 \ln(b) - 2 \ln(1) = 2 \ln(b) \]<br /><br />Para que essa área seja igual a 1, temos:<br /><br />\[ 2 \ln(b) = 1 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:<br /><br />\[ \ln(b) = \frac{1}{2} \]<br /><br />Expondo ambos os lados à base \( e \), temos:<br /><br />\[ b = e^{\frac{1}{2}} \]<br /><br />Portanto, o valor de \( b \) para o qual a área da região é igual a 1 é \( b = e^{\frac{1}{2}} \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />d. \( b = e^{\frac{1}{2}} \)