x+1 2 (EEM-SP) No campo real,para que valores de x tem sentido a expressāo: y=log_(10)(x^2+x-12)

Para que a expressão \( y = \log_{10}(x^2 + x - 12) \) tenha sentido no campo real, o argumento do logaritmo deve ser positivo. Ou seja, a expressão dentro do logaritmo deve ser maior que zero:<br /><br />\[ x^2 + x - 12 > 0 \]<br /><br />Para resolver essa inequação, podemos encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = x^2 + x - 12 \). Primeiro, calculamos a raiz da equação \( x^2 + x - 12 = 0 \):<br /><br />\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />onde \( a = 1 \), \( b = 1 \) e \( c = -12 \). Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \]<br />\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \]<br />\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} \]<br />\[ x = \frac{-1 \pm 7}{2} \]<br /><br />Portanto, os pontos críticos são:<br /><br />\[ x = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \]<br />\[ x = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \]<br /><br />Agora, analisamos o sinal da expressão \( x^2 + x - 12 \) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 3) \) e \( (3, \infty) \).<br /><br />1. Para \( x \in (-\infty, -4) \):<br /> Escolha \( x = -5 \):<br /> \[ (-5)^2 + (-5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 \]<br /> A expressão é positiva.<br /><br />2. Para \( x \in (-4, 3) \):<br /> Escolha \( x = 0 \):<br /> \[ 0^2 + 0 - 12 = -12 \]<br /> A expressão é negativa.<br /><br />3. Para \( x \in (3, \infty) \):<br /> Escolha \( x = 4 \):<br /> \[ 4^2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 \]<br /> A expressão é positiva.<br /><br />Portanto, a expressão \( y = \log_{10}(x^2 + x - 12) \) tem sentido para \( x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty) \).