39. Um professor aplicou a uma turma uma prova em que havia três itens: A , B e C. Sabe -se que: - nenhum aluno errou os três itens: apenas 3 alunos acertaram os três itens; 8 alunos acertaram os itens Ain B 5 alunos acertaram os itens BeC 3 alunos acertaram os itens Ain C total de alunos que acertaram o item A é 20; - o total de alunos que acertaram o item Bé 15; - o total de alunos que acertaram o item Cé8. Quantos alunos há nessa classe?

Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão. Vamos analisar a situação com base nas informações fornecidas:<br /><br />1. Nenhum aluno errou os três itens.<br />2. Apenas 3 alunos acertaram os três itens.<br />3. 8 alunos acertaram os itens A e B.<br />4. 5 alunos acertaram os itens B e C.<br />5. 3 alunos acertaram os itens A e C.<br />6. O total de alunos que acertaram o item A é 20.<br />7. O total de alunos que acertaram o item B é 15.<br />8. O total de alunos que acertaram o item C é 8.<br /><br />Vamos denotar o total de alunos na turma como \( n \).<br /><br />Primeiro, vamos calcular o número de alunos que acertaram pelo menos um dos itens. Para isso, usamos a fórmula da inclusão-exclusão:<br /><br />\[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]<br /><br />Substituindo os valores fornecidos:<br /><br />\[ n(A \cup B \cup C) = 20 + 15 + 8 - 8 - 5 - 3 + 3 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ n(A \cup B \cup C) = 20 + 15 + 8 - 8 - 5 - 3 + 3 = 30 \]<br /><br />Isso significa que 30 alunos acertaram pelo menos um dos itens.<br /><br />Agora, para encontrar o total de alunos na turma, precisamos considerar que nenhum aluno errou os três itens. Portanto, os alunos que não acertaram nenhum item são zero.<br /><br />Assim, o total de alunos na turma é igual ao número de alunos que acertaram pelo menos um dos itens:<br /><br />\[ n = 30 \]<br /><br />Portanto, há 30 alunos nessa classe.