Calcule os seguintes limites: lim _(xarrow -6)(sqrt (-x+3)-sqrt (x+7))/(2x+10)

Para calcular o limite dado, podemos simplificar a expressão antes de avaliar o limite. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{-x+3}+\sqrt{x+7}$, que é o conjugado do numerador:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow -6}\frac{(\sqrt{-x+3}-\sqrt{x+7})(\sqrt{-x+3}+\sqrt{x+7})}{(2x+10)(\sqrt{-x+3}+\sqrt{x+7})}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow -6}\frac{-x+3-(x+7)}{(2x+10)(\sqrt{-x+3}+\sqrt{x+7})}$<br /><br />$\lim_{x\rightarrow -6}\frac{-2x-4}{(2x+10)(\sqrt{-x+3}+\sqrt{x+7})}$<br /><br />Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo o numerador e o denominador por 2:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow -6}\frac{-x-2}{(x+5)(\sqrt{-x+3}+\sqrt{x+7})}$<br /><br />Agora, podemos substituir $x=-6$ na expressão:<br /><br />$\frac{-(-6)-2}{((-6)+5)(\sqrt{-(-6)+3}+\sqrt{(-6)+7})} = \frac{4}{(-1)(\sqrt{3}+\sqrt{13})} = \frac{4}{-\sqrt{3}-\sqrt{13}}$<br /><br />Portanto, o limite é $\frac{4}{-\sqrt{3}-\sqrt{13}}$.