2. (1,5 pt) Considere a função bilinear e simétrica f:R^2times R^2arrow R definida por f((x_(1),x_(2)),(y_(1),y_(2)))=x_(1)y_(1)-2x_(1)y_(2)-2x_(2)y_(1)+kx_(2)y_(2) Detemine os valores de k que tornam a função f um produto interno.

Para que a função \( f \) seja um produto interno, ela deve satisfazer as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade.<br /><br />1. **Bilinearidade**: A função deve ser linear em cada variável. Isso significa que, para qualquer \( (x_1, x_2) \) e \( (y_1, y_2) \) no domínio de \( f \), a função deve ser linear em \( (x_1, x_2) \) e \( (y_1, y_2) \) separadamente.<br /><br />2. **Simetria**: A função deve ser simétrica, o que significa que \( f((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = f((y_1, y_2), (x_1, x_2)) \).<br /><br />3. **Positividade**: A função deve ser positiva-definida, o que significa que \( f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) > 0 \) para todo \( (x_1, x_2) \neq (0, 0) \).<br /><br />Vamos analisar a função dada:<br /><br />\[ f((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = x_1 y_1 - 2 x_1 y_2 - 2 x_2 y_1 + k x_2 y_2 \]<br /><br />Para que \( f \) seja um produto interno, ela deve ser simétrica. Vamos verificar a simetria:<br /><br />\[ f((y_1, y_2), (x_1, x_2)) = y_1 x_1 - 2 y_1 x_2 - 2 y_2 x_1 + k y_2 x_2 \]<br /><br />Para que \() seja simétrica, devemos ter:<br /><br />\[ f((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = f((y_1, y_2), (x_1, x_2)) \]<br /><br />Comparando as expressões, vemos que as termos correspondentes devem ser iguais. Isso implica que:<br /><br />\[ -2 x_1 y_2 = -2 y_1 x_2 \]<br />\[ -2 x_2 y_1 = -2 y_2 x_1 \]<br /><br />Essas igualdades são verdadeiras para qualquer \( x_1, x_2, y, y_2 \). Portanto, a simetria é satisfeita.<br /><br />Agora, para que \( f \) seja um produto interno, devemos ter \( f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) > 0 \) para todo \( (x_1, x_2) \ (0, 0) \).<br /><br />\[ f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) = x_1^2 - 4 x_1 x_2 + k x_2^2 \]<br /><br />Para que \( f((x_1, x_2), (x_1, x_2)) > 0 \) para todo \( (x_1, x_2) \neq (0, 0) \), a expressão deve ser positiva para todos os \( x_1 \) e \( x_2 \). Isso implica que o coeficiente de \( x_2^2 \) deve ser positivo, ou seja, \( k > 0 \).<br /><br />Portanto, o valor de \( k \) que torna a função \( f \) um produto interno é \( k > 0 \).