Questão 2: Dada a função f(x,y)=x^3+2x^2y^3-2y^3 resultado da derivada no ponto (2,1)

Para encontrar a derivada da função \( f(x, y) = x^3 + 2x^2y^3 - 2y^3 \) no ponto \((2, 1)\), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \), e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a \( x \):<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 4xy^3 \]<br /><br />Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a \( y \):<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 6x^2y^2 - 6y^2 \]<br /><br />Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto \((2, 1)\):<br /><br />Para \( x = 2 \) e \( y = 1 \):<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(2, 1)} = 3(2)^2 + 4(2)(1)^3 = 12 + 8 = 20 \]<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(2, 1)} = 6(2)^2(1)^2 - 6(1)^2 = 24 - 6 = 18 \]<br /><br />Portanto, a derivada da função \( f(x, y) \) no ponto \((2, 1)\) é:<br /><br />\[ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(2, 1)}, \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(2, 1)} \right) = (20, 18) \]