58.A soma dos n termos de uma PG finita é 504. Sabe-se que a_(n)=256 e q=2 Calcule o primeiro termo da PG.

Para calcular o primeiro termo da progressão geométrica (PG), podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PG finita:<br /><br />$S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$<br /><br />Onde:<br />$S_n$ é a soma dos termos,<br />$a_1$ é o primeiro termo,<br />$q$ é a razão,<br />$n$ é o número de termos.<br /><br />No caso em questão, temos que $S_n = 504$, $a_n = 256$ e $q = 2$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$504 = \frac{a_1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$504 = a_1 \cdot (2^n - 1)$<br /><br />Sabemos que $a_n = 256$ e $q = 2$, então podemos escrever $a_n$ como:<br /><br />$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$256 = a_1 \cdot 2^{n-1}$<br /><br />Agora, podemos resolver essas duas equações simultaneamente para encontrar o valor de $a_1$. Vamos isolar $a_1$ na primeira equação:<br /><br />$a_1 = \frac{504}{2^n - 1}$<br /><br />Substituindo esse valor na segunda equação, temos:<br /><br />$\frac{504}{2^n - 1} = \frac{256}{2^{n-1}}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $2^n - 1$, temos:<br /><br />$504 \cdot 2^{n-1} = 256$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$2^{n-1} = \frac{256}{504}$<br /><br />$2^{n-1} = \frac{16}{63}$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de $n$. Sabemos que $2^6 = 64$, então podemos escre$2^{n-1} = \frac{16}{63}$<br /><br />$2^{n-1} = 2^4 \cdot 2^{-1} \cdot 2^{-1}$<br /><br />$2^{n-1} = 2^{4-2}$<br /><br />$2^{n-1} = 2^2$<br /><br />Portanto, $n - 1 = 2$, o que implica que $n = 3$.<br /><br />Agora que encontramos o valor de $n$, podemos substituí-lo na primeira equação para encontrar o valor de $a_1$:<br /><br />$a_1 = \frac{504}{2^3 - 1}$<br /><br />$a_1 = \frac{504}{8 - 1}$<br /><br />$a_1 = \frac{504}{7}$<br /><br />$a_1 = 72$<br /><br />Portanto, o primeiro termo da progressão geométrica é 72.