Determine o valor da integral int _(0)^(sqrt (2)/(2))(10x)/(1+4x^4)du Ref.: 202313378130202308388274 (5pi )/(8) (5pi )/(7) (3pi )/(8) (5pi )/(3) (pi )/(8)

Para determinar o valor da integral \(\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{10x}{1+4x^4} \, dx\), podemos fazer uma substituição adequada. Vamos usar a substituição \(u = 2x^2\). Então, \(du = 4x \, dx\), ou seja, \(dx = \frac{du}{4x}\).<br /><br />Reescrevendo a integral em termos de \(u\), temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{10x}{1+4x^4} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{10x}{1+u} \cdot \frac{du}{4x}<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \frac{10}{4(1+u)} \, du = \frac{10}{4} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u} \, du<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{5}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u} \, du<br />\]<br /><br />A integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u} \, du\) é uma integral conhecida, que resulta em \(\ln(2)\). Portanto, temos:<br /><br />\[<br />\frac{5}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u} \, du = \frac{5}{2} \ln(2)<br />\]<br /><br />No entanto, precisamos verificar se essa resposta está entre as opções fornecidas. Vamos reavaliar a integral usando uma abordagem diferente.<br /><br />Podemos usar uma integral conhecida para resolver essa integral. A integral de \(\frac{1}{1+u^2}\) é \(\arctan(u)\). Vamos reescrever a integral usando essa forma:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{10x}{1+4x^4} \, dx = 10 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x}{1+(2x^2)^2} \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= 10 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x}{1+4u^2} \cdot \frac{du}{2x}<br />\]<br /><br />\[<br />= 5 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4u^2} \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos usar a substituição \(u = \frac{1}{2} \tan(\theta)\), então \(du = \frac{1}{2} \sec^2(\theta) d\theta\). Quando \(u = 0\), \(\theta = 0\), e quando \(u = \frac{1}{2}\), \(\theta = \frac{\pi}{4}\).<br /><br />\[<br />5 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4u^2} \, du = 5 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+4 \left(\frac{1}{2} \tan(\theta)\right)^2} \cdot \frac{1}{2} \sec^2(\theta) d\theta<br />\]<br /><br />\[<br />= 5 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2(\theta)} \cdot \frac{1}{2} \sec^2(\theta) d\theta<br />\]<br /><br />\[<br />= 5 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sec^2(\theta)} \cdot \frac{1}{2} \sec^2(\theta) d\theta<br />\]<br /><br />\[<br />= 5 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} d\theta<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{5}{2} \left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{5}{2} \left(\frac{\pi}{4} - 0\right)<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{5\pi}{8}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(\frac{5\pi}{8}\).