2. (Stewart, 2008) O bismutc -210 tem uma meia-vida de cinco dias. (a) Se uma amostra tem massa de 800 mg, encontre uma fórmula para a massa que restará depois de t dias. (b) Calcule a massa depois de 30 dias. (c) Quando a massa será reduzida para 1 mg?

(a) A fórmula para calcular a massa que restará após t dias é:<br /><br />\[ m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( m(t) \) é a massa restante após t dias<br />- \( m_0 \) é a massa inicial<br />- \( T \) é a meia-vida do bismuto<br /><br />No caso, a massa inicial é de 800 mg e a meia-vida é de 5 dias. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ m(t) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}} \]<br /><br />(b) Para calcular a massa após 30 dias, substituímos t por 30 na fórmula:<br /><br />\[ m(30) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{5}} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ m(30) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \]<br /><br />\[ m(30) = 800 \cdot \frac{1}{64} \]<br /><br />\[ m(30) = 12,5 \, \text{mg} \]<br /><br />Portanto, a massa restante após 30 dias será de 12,5 mg.<br /><br />(c) Para determinar quando a massa será reduzida para 1 mg, igualamos a fórmula da massa restante a 1 mg e resolvemos para t:<br /><br />\[ 1 = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}} \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 800, temos:<br /><br />\[ \frac{1}{800} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}} \]<br /><br />Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos:<br /><br />\[ \log\left(\frac{1}{800}\right) = \frac{t}{5} \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right) \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ t = \frac{5 \cdot \log\left(\frac{1}{800}\right)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)} \]<br /><br />Calculando o valor, encontramos:<br /><br />\[ t \approx 35,3 \, \text{dias} \]<br /><br />Portanto, a massa será reduzida para 1 mg após aproximadamente 35,3 dias.