lim _(yarrow 0)(y^5)/(sen^5)(y)=1

Para resolver essa limitação, podemos usar a fórmula de L'Hôpital, que nos permite tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente.<br /><br />A fórmula de L'Hôpital afirma que, se $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ é indeterminado do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, então podemos calcular a derivada do numerador e do denominador e tomar o limite novamente:<br /><br />$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$<br /><br />Aplicando a fórmula de L'Hôpital à nossa expressão original, temos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{y^5}{\sin^5(y)} = \lim_{y\to 0}\frac{5y^4}{5\sin^4(y)\cos(y)}$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{y^4}{\sin^4(y)\cos(y)}$<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de L'Hôpital, temos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{4y^3}{4\sin^3(y)\cos^2(y)}$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{y^3}{\sin^3(y)\cos^2(y)}$<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de L'Hôpital, temos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{3y^2}{3\sin^2(y)\cos^2(y)}$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{y^2}{\sin^2(y)\cos^2(y)}$<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de L'Hôpital, temos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{2y}{2\sin(y)\cos^2(y)}$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin(y)\cos^2(y)}$<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de L'Hôpital, temos:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{1}{\cos^2(y)}$<br /><br />Quando $y$ tende a 0, $\cos(y)$ tende a 1. Portanto, $\cos^2(y)$ tende a 1. Assim, o limite é:<br /><br />$\lim_{y\to 0}\frac{1}{\cos^2(y)} = \frac{1}{1} = 1$<br /><br />Portanto, a resposta correta é 1.