29^a Questão Um tambor cilíndrico, cujo raio da base tem medida R , contém água , até certa altura . Uma esfera de aço de raio ré mergulhada nesse tambor, ficando totalmente submersa, sem haver transbord amento de água . Se a altura da água subiu 56,25% de R, então, o raio r da esfera mede:

Para resolver essa questão, precisamos entender que o volume de água deslocado pela esfera é igual ao volume da própria esfera. O aumento na altura da água no tambor cilíndrico é dado como \(56,25\%\) do raio \(R\).<br /><br />O volume de um cilindro é dado por \(V_{\text{cilindro}} = \pi R^2 h\), onde \(h\) é a altura. O aumento na altura da água é \(0,5625R\), então o volume de água deslocado é:<br /><br />\[ V_{\text{deslocado}} = \pi R^2 (0,5625R) = 0,5625\pi R^3. \]<br /><br />O volume de uma esfera é dado por \(V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3\). Igualando os volumes, temos:<br /><br />\[ \frac{4}{3}\pi r^3 = 0,5625\pi R^3. \]<br /><br />Cancelando \(\pi\) dos dois lados e resolvendo para \(r\), obtemos:<br /><br />\[ \frac{4}{3}r^3 = 0,5625R^3. \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \(\frac{3}{4}\):<br /><br />\[ r^3 = \frac{3}{4} \times 0,5625R^3. \]<br /><br />Calculando \(\frac{3}{4} \times 0,5625\):<br /><br />\[ \frac{3}{4} \times 0,5625 = 0,421875. \]<br /><br />Portanto, \(r^3 = 0,421875R^3\).<br /><br />Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados:<br /><br />\[ r = (0,421875)^{1/3}R. \]<br /><br />Calculando a raiz cúbica de \(0,421875\), encontramos que:<br /><br />\[ r \approx 0,75R. \]<br /><br />Assim, o raio \(r\) da esfera mede aproximadamente \(0,75R\).