termine a direa delimitada pelas funções f(x)=x^2+1 e g(x)=-x+7

Para determinar a área delimitada pelas funções \( f(x) = x^2 + 1 \) e \( g(x) = -x + 7 \), precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas funções. Vamos resolver isso passo a passo:<br /><br />1. **Igualar as funções para encontrar os pontos de interseção:**<br /> \[<br /> x^2 + 1 = -x + 7<br /> \]<br /><br />2. **Reorganizar a equação:**<br /> \[<br /> x^2 + x - 6 = 0<br /> \]<br /><br />3. **Resolver a equação quadrática:**<br /> \[<br /> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br /> \]<br /> onde \( a = 1 \), \( b = 1 \) e \( c = -6 \).<br /><br /> \[<br /> x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{-1 \pm 5}{2}<br /> \]<br /><br /> Portanto, os pontos de interseção são:<br /> \[<br /> x = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \quad \text{e} \quad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3<br /> \]<br /><br />4. **Calcular a área entre as duas funções:**<br /> A área entre as duas funções será a integral da diferença das funções, de \( x = -3 \) a \( x = 2 \):<br /><br /> \[<br /> \text{Área} = \int_{-3}^{2} \left( g(x) - f(x) \right) \, dx<br /> \]<br /> \[<br /> = \int_{-3}^{2} \left( (-x + 7) - (x^2 + 1) \right) \, dx<br /> \]<br /> \[<br /> = \int_{-3}^{2} \left( -x + 7 - x^2 - 1 \right) \, dx<br /> \]<br /> \[<br /> = \int_{-3}^{2} \left( -x^2 - x + 6 \right) \, dx<br /> \]<br /><br />5. **Calcular a integral:**<br /> \[<br /> \int_{-3}^{2} \left( -x^2 - x + 6 \right) \, dx<br /> \]<br /><br /> Dividimos a integral em partes:<br /><br /> \[<br /> \int_{-3}^{2} -x^2 \, dx + \int_{-3}^{2} -x \, dx + \int_{-3}^{2} 6 \, dx<br /> \]<br /><br /> Calculamos cada parte separadamente:<br /><br /> \[<br /> \int_{-3}^{2} -x^2 \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{2} = -\left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} \right) = -\left( \frac{8}{3} - \left( -\frac{27}{3} \right) \right) = -\left( \frac{8}{3} + \frac{27}{3} \right) = -\frac{35}{3}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \int_{-3}^{2} -x \, dx = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{2} = -\left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-3)^2}{2} \right) = -\left( \frac{4}{2} - \frac{9}{2} \right) = -\left( 2 - \frac{9}{2} \right) = -\left( 2 - 4.5 \right) = -(-2.5) = 2.5<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \int_{-3}^{2} 6 \, dx = 6 \left[ x \right]_{-3}^{2} = 6 \left( 2 - (-3) \right) = 6 \times 5 = 30