) Demonstrar por "indução matemática". 6vert (n^3-n) forall nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(6 \mid (n^3 - n)\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />### Passo 1: Base da indução<br />Verificamos a afirmação para \(n = 1\):<br />\[ n^3 - n = 1^3 - 1 = 0 \]<br />Claramente, \(6 \mid 0\), então a base da indução é verdadeira.<br /><br />### Passo 2: Passo da indução<br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum \(k \in \mathbb{N}\), ou seja, \(6 \mid (k^3 - k)\). Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para \(k + 1\), ou seja, \(6 \mid ((k+1)^3 - (k+1))\).<br /><br />Primeiro, expandimos \((k+1)^3 - (k+1)\):<br />\[<br />(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k + 1)<br />\]<br />\[<br />= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1<br />\]<br />\[<br />= k^3 + 3k^2 + 2k<br />\]<br /><br />Agora, fatoramos \(k\) da expressão:<br />\[<br />k^3 + 3k^2 + 2k = k(k^2 + 3k + 2)<br />\]<br /><br />Fatoramos o trinômio \(k^2 + 3k + 2\):<br />\[<br />k^2 + 3k + 2 = (k + 1)(k + 2)<br />\]<br /><br />Portanto, temos:<br />\[<br />k(k^2 + 3k + 2) = k(k + 1)(k + 2)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(k(k + 1)(k + 2)\) é um produto de três números consecutivos, e pelo menos um desses números é divisível por 2, e pelo menos um é divisível por 3. Assim, o produto é divisível por 6.<br /><br />Portanto, \(6 \mid k(k + 1)(k + 2)\), e, por transmissão, \(6 \mid (k^3 + 3k^2 + 2k)\).<br /><br />### Conclusão<br />Pelo princípio de indução matemática, a afirmação \(6 \mid (n^3 - n)\) é verdadeira para todo \(n \in \mathbb{N}\).