valor de a para que seja 45^circ 0 ângulo entre os vetores overrightarrow (u)=(2,1) e overrightarrow (v)=(1,a) . A (A) a=-3oua=-(1)/(3) B (B) a=3 ou a=-3 C (c) a=3oua=3ldots D (D) a=3oualpha =(1)/(3)... E (E) a=3oualpha =-(1)/(3)ldots

Para que o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u} = (2,1)$ e $\overrightarrow{v} = (1,a)$ seja $45^\circ$, precisamos calcular o produto interno entre os vetores e igualá-lo a $|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(45^\circ)$.<br /><br />O produto interno entre $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ é dado por:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot a = 2 + a$<br /><br />O módulo de $\overrightarrow{u}$ é:<br /><br />$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$<br /><br />O módulo de $\overrightarrow{v}$ é:<br /><br />$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + a^2} = \sqrt{1 + a^2}$<br /><br />O valor de $\cos(45^\circ)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$.<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />$2 + a = \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + a^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos simplificar:<br /><br />$4 + 2a = \sqrt{10(1 + a^2)}$<br /><br />Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:<br /><br />$(4 + 2a)^2 = 10(1 + a^2)$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />$a = 3$ ou $a = -3$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção B: $a = 3$ ou $a = -3$.