Determinar o ângulo entre os planos: pi _(1):x-z+9=0 e pi _(2):-x+y-7=0 Assinale a ALTERNATIVA CORRETA. A. I 30^circ B 50^circ C 40^circ D 60^circ E 20^circ

Para determinar o ângulo entre os planos \(\pi_1: x - z + 9 = 0\) e \(\pi_2: -x + y - 7 = 0\), podemos usar a fórmula para o produto escalar de vetores normais dos planos.<br /><br />Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos:<br />- Para \(\pi_1: x - z + 9 = 0\), o vetor normal é \(\vec{n_1} = \langle 1, 0, -1 \rangle\).<br />- Para \(\pi_2: -x + y - 7 = 0\), o vetor normal é \(\vec{n_2} = \langle -1, 1, 0 \rangle\).<br /><br />A fórmula para o produto escalar entre dois vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) é:<br />\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]<br /><br />Aplicando essa fórmula aos vetores normais dos planos:<br />\[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(-1) + (0)(1) + (-1)(0) = -1 \]<br /><br />O produto interno entre dois vetores é dado por:<br />\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta) \]<br /><br />Onde \(\theta\) é o ângulo entre os vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\).<br /><br />Calculamos as normas dos vetores normais:<br />\[ \|\vec{n_1}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]<br />\[ \|\vec{n_2}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]<br /><br />Substituímos esses valores na fórmula do produto interno:<br />\[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\| \cos(\theta) \]<br />\[ -1 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\theta) \]<br />\[ -1 = 2 \cos(\theta) \]<br />\[ \cos(\theta) = -\frac{1}{2} \]<br /><br />Para encontrar o ângulo \(\theta\), usamos a função inversa do cosseno:<br />\[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \]<br /><br />Sabemos que:<br />\[ \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \]<br /><br />Portanto, o ângulo entre os planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\) é \(120^\circ\).<br /><br />Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a \(120^\circ\). Portanto, parece haver um erro nas alternativas fornecidas. A resposta correta é \(120^\circ\).