3) (FEI)Vinte gramas de um isótopo radioativo decrescem para cinco gramas em dezesseis anos. A meia-vida desse isótopo é: a) 4 anos. b) 16 anos. c) 32 anos. d) 10 anos. e) 8 anos.

Para calcular a meia-vida de um isótopo radioativo, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]<br /><br />onde:<br />- \( N \) é a quantidade final de substância,<br />- \( N_0 \) é a quantidade inicial de substância,<br />- \( t \) é o tempo decorrido,<br />- \( T \) é a meia-vida.<br /><br />No caso em questão, temos:<br />- \( N_0 = 20 \) gramas,<br />- \( N = 5 \) gramas,<br />- \( t = 16 \) anos.<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ 5 = 20 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{16}{T}} \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 20, obtemos:<br /><br />\[ \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{16}{T}} \]<br /><br />Sabemos que \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \), então podemos igualar os expoentes:<br /><br />\[ 2 = \frac{16}{T} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \( T \), temos:<br /><br />\[ 2T = 16 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:<br /><br />\[ T = 8 \]<br /><br />Portanto, a meia-vida desse isótopo é 8 anos. A resposta correta é a opção e) 8 anos.