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Matemática
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Seja f:Rarrow R definida f(x) = f(x)= ) 3x+3,xleqslant 0 x^2+4x+3,xgt 0 Podemos afirmar que: A f é injetora mas não é sobrejetora. B fé sobrejetora mas nào é injetora. f é bijetora e f^-1(3)=0 D f é bijetora e f^-1(0)=1 D E f é bijetora e f^-1(0)=-2 E

Pergunta

Seja f:Rarrow R definida f(x) = f(x)= ) 3x+3,xleqslant 0 x^2+4x+3,xgt 0  Podemos afirmar que:
A f é injetora mas não é sobrejetora.
B fé sobrejetora mas nào é injetora.
f é bijetora e f^-1(3)=0
D f é bijetora e f^-1(0)=1 D
E f é bijetora e f^-1(0)=-2 E

Seja f:Rarrow R definida f(x) = f(x)= ) 3x+3,xleqslant 0 x^2+4x+3,xgt 0 Podemos afirmar que: A f é injetora mas não é sobrejetora. B fé sobrejetora mas nào é injetora. f é bijetora e f^-1(3)=0 D f é bijetora e f^-1(0)=1 D E f é bijetora e f^-1(0)=-2 E

Solução

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KarlaVeterano · Tutor por 11 anos

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Para determinar se a função f é injetora, sobrejetora ou bijetora, precisamos analisar seus valores e comportamento.<br /><br />Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de destino tem um único elemento correspondente no conjunto de origem. Para isso, podemos calcular a derivada da função f(x) e verificar se ela é sempre positiva ou negativa.<br /><br />Para x ≤ 0, temos f(x) = 3x + 3. Calculando a derivada, temos f'(x) = 3, que é sempre positiva. Portanto, a função é crescente para x ≤ 0.<br /><br />Para x > 0, temos f(x) = x^2 + 4x + 3. Calculando a derivada, temos f'(x) = 2x + 4, que é positiva para x > 0. Portanto, a função também é crescente para x > 0.<br /><br />Assim, podemos concluir que a função f é crescente em todo o conjunto de definição R. Portanto, a função é injetora.<br /><br />Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de destino é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de origem. Para isso, podemos analisar os valores que a função pode assumir.<br /><br />Para x ≤ 0, temos f(x) = 3x + 3. Como a função é crescente, ela pode assumir qualquer valor menor ou igual a 3.<br /><br />Para x > 0, temos f(x) = x^2 + 4x + 3. Como a função é crescente, ela pode assumir qualquer valor maior ou igual a 3.<br /><br />Portanto, a função f pode assumir qualquer valor real. Assim, podemos concluir que a função é sobrejetora.<br /><br />Finalmente, vamos verificar se a função é bijetora. Uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Como já demonstramos que a função é injetora e sobrejetora, podemos concluir que ela é bijetora.<br /><br />Agora, vamos calcular os valores de $f^{-1}(3)$, $f^{-1}(0)$ e $f^{-1}(-2)$.<br /><br />Para calcular $f^{-1}(3)$, precisamos encontrar o valor de x tal que f(x) = 3. Para x ≤ 0, temos 3x + 3 = 3, o que implica x = 0. Para x > 0, temos x^2 + 4x + 3 = 3, o que implica x = -1. Portanto, $f^{-1}(3) = 0$.<br /><br />Para calcular $f^{-1}(0)$, precisamos encontrar o valor de x tal que f(x) = 0. Para x ≤ 0, temos 3x + 3 = 0, o que implica x = -1. Para x > 0, temos x^2 + 4x + 3 = 0, o que implica x = -1 ou x = -3. Portanto, $f^{-1}(0) = -1$.<br /><br />Para calcular $f^{-1}(-2)$, precisamos encontrar o valor de x tal que f(x) = -2. Para x ≤ 0, temos 3x + 3 = -2, o que implica x = -5/3. Para x > 0, temos x^2 + 4x + 3 = -2, o que não possui solução. Portanto, $f^{-1}(-2) = -5/3$.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a alternativa A: f é injetora mas não é sobrejetora.
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