87. As relas-suporte dos lados de um triângulo têm como equaçōes x+2y-1=0,y-5=0 e x-2y-7=0 Calcule a área da regiāo triangular.

Para calcular a área da região triangular, primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção das retas que formam os lados do triângulo. As equações das retas são:<br /><br />1. \( x + 2y - 1 = 0 \)<br />2. \( y - 5 = 0 \)<br />3. \( x - 2y - 7 = 0 \)<br /><br />Vamos resolver essas equações para encontrar os pontos de interseção.<br /><br />### Encontrando o ponto de interseção das retas (1) e (2):<br /><br />A segunda reta é \( y = 5 \). Substituímos \( y = 5 \) na primeira reta:<br /><br />\[ x + 2(5) - 1 = 0 \]<br />\[ x + 10 - 1 = 0 \]<br />\[ x + 9 = 0 \]<br />\[ x = -9 \]<br /><br />Portanto, o ponto de interseção das retas (1) e (2) é \( (-9, 5) \).<br /><br />### Encontrando o ponto de interseção das retas (1) e (3):<br /><br />Substituímos \( y = 5 \) na terceira reta:<br /><br />\[ x - 2(5) - 7 = 0 \]<br />\[ x - 10 - 7 = 0 \]<br />\[ x - 17 = 0 \]<br />\[ x = 17 \]<br /><br />Portanto, o ponto de interseção das retas (1) e (3) é \( (17, 5) \).<br /><br />### Encontrando o ponto de interseção das retas (2) e (3):<br /><br />A segunda reta é \( y = 5 \). Substituímos \( y = 5 \) na terceira reta:<br /><br />\[ x - 2(5) - 7 = 0 \]<br />\[ x - 10 - 7 = 0 \]<br />\[ x - 17 = 0 \]<br />\[ x = 17 \]<br /><br />Portanto, o ponto de interseção das retas (2) e (3) é \( (17, 5) \).<br /><br />### Verificando os pontos de interseção:<br /><br />Observamos que os pontos de interseção das retas (1) e (2) e das retas (1) e (3) são diferentes. Isso indica que há um erro na interpretação dos pontos de interseção. Vamos corrigir isso.<br /><br />### Corrigindo os pontos de interseção:<br /><br />Para encontrar corretamente os pontos de interseção, precisamos resolver o sistema de equações:<br /><br />1. \( x + 2y - 1 = 0 \)<br />2. \( y - 5 = 0 \)<br />3. \( x - 2y - 7 = 0 \)<br /><br />### Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. Da segunda equação, \( y = 5 \).<br /><br />Substituímos \( y = 5 \) nas outras duas equações:<br /><br />Para a primeira equação:<br />\[ x + 2(5) - 1 = 0 \]<br />\[ x + 10 - 1 = 0 \]<br />\[ x + 9 = 0 \]<br />\[ x = -9 \]<br /><br />Para a terceira equação:<br />\[ x - 2(5) - 7 = 0 \]<br />\[ x - 10 - 7 = 0 \]<br />\[ x - 17 = 0 \]<br />\[ x = 17 \]<br /><br />Portanto, os pontos de interseção são \( (-9, 5) \) e \( (17, 5) \).<br /><br />### Calculando a área do triângulo:<br /><br />Usamos a fórmula da área de um triângulo dado seus vértices \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) e \((x_3, y_3)\):<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]<br /><br />Substituindo os pontos \((-9, 5)\), \((17, 5)\) e \((x, y)\) onde a reta (3) intercepta o eixo y:<br /><br />Para encontrar o ponto de interseção da reta (3) com o eixo y, substituímos \( x = 0 \):<br /><br />\[ 0 - 2y - 7 = 0 \]<br />\[ -2y - 7 = 0 \]<br />\[ -2y = 7 \]<br />\[ y = -\frac{7}{2