que 7.(Unicamp -SP)Considere o número complexo z=(1+ai)/(a-i) onde a é um número real e iea unidade imaginária , isto é, i^2=-1.0 valorde Z^2016 é igual a: a) a^2016 c) 1+2016i b) 1. d) dot (j)

Para resolver essa questão, vamos primeiro simplificar a expressão do número complexo \( z \).<br /><br />Dado que \( z = \frac{1 + ai}{a - i} \), podemos multiplicar o numerador e o denominador por \( a + i \) (o conjugado do denominador) para simplificar:<br /><br />\[ z = \frac{(1 + ai)(a + i)}{(a - i)(a + i)} \]<br /><br />Calculando o numerador:<br /><br />\[ (1 + ai)(a + i) = 1 \cdot a + 1 \cdot i + ai \cdot a + ai \cdot i = a + i + a^2i + ai^2 \]<br /><br />Como \( i^2 = -1 \):<br /><br />\[ a + i + a^2i - a = a + i + a^2i - a = i + a^2i \]<br /><br />Calculando o denominador:<br /><br />\[ (a - i)(a + i) = a^2 - i^2 = a^2 - (-1) = a^2 + 1 \]<br /><br />Portanto, o número complexo \( z \) é:<br /><br />\[ z = \frac{i + a^2i}{a^2 + 1} = \frac{a^2 + i}{a^2 + 1} \]<br /><br />Agora, precisamos calcular \( z^{2016} \). Para isso, é útil encontrar a forma polar de \( z \).<br /><br />\[ z = \frac{a^2 + i}{a^2 + 1} \]<br /><br />Podemos escrever \( z \) em forma polar:<br /><br />\[ z = re^{i\theta} \]<br /><br />onde \( r \) é o módulo de \( z \) e \( \theta \) é o argumento de \( z \).<br /><br />O módulo \( r \) é:<br /><br />\[ r = \sqrt{\left(\frac{a^2}{a^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{1}{a^2 + 1}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^4 + 1}{(a^2 + 1)^2}} = \frac{\sqrt{a^4 + 1}}{a^2 + 1} \]<br /><br />O argumento \( \theta \) é:<br /><br />\[ \theta = \arctan\left(\frac{1}{a^2}\right) \]<br /><br />Portanto, \( z \) em forma polar é:<br /><br />\[ z = \frac{\sqrt{a^4 + 1}}{a^2 + 1} e^{i\arctan\left(\frac{1}{a^2}\right)} \]<br /><br />Para calcular \( z^{2016} \), usamos a propriedade dos expoentes:<br /><br />\[ z^{2016} = \left(\frac{\sqrt{a^4 + 1}}{a^2 + 1}\right)^{2016} e^{i \cdot 2016 \arctan\left(\frac{1}{a^2}\right)} \]<br /><br />O módulo se torna um número real muito pequeno, enquanto o argumento se torna um múltiplo de \( 2\pi \):<br /><br />\[ e^{i \cdot 2016 \arctan\left(\frac{1}{a^2}\right)} = e^{i \cdot 1008 \cdot 2\pi} = e^{i \cdot 2016\pi} = e^{i \cdot 0} = 1 \]<br /><br />Portanto, o valor de \( z^{2016} \) é:<br /><br />\[ z^{2016} = \left(\frac{\sqrt{a^4 + 1}}{a^2 + 1}\right)^{2016} \]<br /><br />Como \( \left(\frac{\sqrt{a^4 + 1}}{a^2 + 1}\right) \) é um número muito pequeno, elevado a 2016, ele se aproxima de zero.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />b) 1.