02) Os coelhos são conhecidos por se reproduzirem rápida eficientemente na natureza , visto que são presas natu rais, os coelhos se reproduzem de forma exponencia para manter a espécie viva. O coelho-europeu foi intro duzido na Austrália, no século XIX e, por não terem pre dador natural naquele pais , a multiplicação dos coelho: atingiu niveis muito elevados e se transformou num pro blema prejudicando bastante a agricultura. Em certa região da Austrália, a população de coelhos er dada pela função P=1000cdot 2^0,4t , em que t é o temp medido em anos, com t=0 representando o ano 1840. população de coelhos nessa região atingirá 64.000 indivi duos no ano a) 1855. b) 1860. c) 1865. d) 1870 e) 1875

Para encontrar o ano em que a população de coelhos atingirá 64.000 indivíduos, podemos igualar a função dada para a população de coelhos à quantidade desejada e resolver a equação.<br /><br />A função dada é: $P = 1000 \cdot 2^{0,4t}$<br /><br />Queremos encontrar o valor de $t$ quando $P = 64000$.<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />$64000 = 1000 \cdot 2^{0,4t}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 1000, temos:<br /><br />$64 = 2^{0,4t}$<br /><br />Agora, podemos aplicar logaritmo em ambos os lados para isolar o expoente:<br /><br />$\log(64) = \log(2^{0,4t})$<br /><br />Usando a propriedade de logaritmo que diz que $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$, temos:<br /><br />$\log(64) = 0,4t \cdot \log(2)$<br /><br />Agora, podemos isolar o valor de $t$ dividindo ambos os lados por $0,4 \cdot \log(2)$:<br /><br />$t = \frac{\log(64)}{0,4 \cdot \log(2)}$<br /><br />Usando uma calculadora, encontramos que $\log(64) \approx 1,806$ e $\log(2) \approx 0,301$.<br /><br />Substituindo esses valores na equação, temos:<br /><br />$t \approx \frac{1,806}{0,4 \cdot 0,301}$<br /><br />$t \approx \frac{1,806}{0,1204}$<br /><br />$t \approx 14,97$<br /><br />Portanto, o valor de $t$ é aproximadamente 14,97.<br /><br />Como $t$ representa o número de anos a partir do ano 1840, podemos adicionar esse valor a 1840 para encontrar o ano correspondente:<br /><br />Ano = 1840 + 14,97 ≈ 1855<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção a) 1855.