arrow R^2 dada por B(x,y,z)=(-3x+2y,2x-y) é uma inversa à esque 4. Determine o núcleo e aimagem da aplicação linear T: R^3arrow R^2 definida T(x,y,z)=(x-y,y-z) 5. Prove que a transformação linear T: R^2arrow R^3 dada por T(x,y)=(x+2y,x+y,x-y) é injetiva.

Para resolver as questões, vamos abordá-las uma de cada vez:<br /><br />### 4. Núcleo e imagem da aplicação linear T: \( R^3 \rightarrow R^2 \) definida por \( T(x,y,z) = (x-y, y-z) \)<br /><br />**Núcleo de T:**<br /><br />O núcleo de uma aplicação linear \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) tal que \( T(x, y, z) = (0, 0) \).<br /><br />Para encontrar o núcleo, resolvemos o sistema de equações:<br />\[ T(x, y, z) = (x-y, y-z) = (0, 0) \]<br /><br />Isso implica que:<br />\[ x - y = 0 \]<br />\[ y - z = 0 \]<br /><br />Resolvendo essas equações, obtemos:<br />\[ x = y \]<br />\[ y = z \]<br /><br />Portanto, \( x = y = z \).<br /><br />Isso significa que o núcleo de \( T \) é o conjunto dos vetores que são múltiplos de \( (1, 1, 1) \):<br />\[ \text{núcleo}(T) = \{ k(1, 1, 1) \mid k \in \mathbb{R} \} \]<br /><br />**Imagem de T:**<br /><br />A imagem de \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (a, b) \) tal que existe algum vetor \( (x, y, z) \) em \( R^3 \) que \( T(x, y, z) = (a, b) \).<br /><br />Para encontrar a imagem, consideramos as equações:<br />\[ x - y = a \]<br />\[ y - z = b \]<br /><br />Resolvendo essas equações para \( x \) e \( z \), obtemos:<br />\[ x = a + y \]<br />\[ z = y - b \]<br /><br />Portanto, qualquer vetor \( (a, b) \) pode ser alcançado se \( y \) for qualquer número real. Assim, a imagem de \( T \) é todo o plano \( R^2 \):<br />\[ \text{imagem}(T) = R^2 \]<br /><br />### 5. Provar que a transformação linear T: \( R^2 \rightarrow R^3 \) dada por \( T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \) é injetiva.<br /><br />Uma transformação linear \( T \) é injetiva se e somente se \( T \) é uma bijetora, ou seja, \( T \) é sobejeto e injetora.<br /><br />**Sobejeto:**<br /><br />Para verificar se \( T \) é sobejeto, precisamos verificar se todo o espaço \( R^3 \) é coberto pela imagem de \( T \). Ou seja, precisamos mostrar que para qualquer vetor \( (a, b, c) \) em \( R^3 \), existe um vetor \( (x, y) \) em \( R^2 \) tal que \( T(x, y) = (a, b, c) \).<br /><br />Considere o sistema de equações:<br />\[ x + 2y = a \]<br />\[ x + y = b \]<br />\[ x - y = c \]<br /><br />Resolvendo esse sistema, somamos as duas primeiras equações:<br />\[ (x + 2y) + (x + y) = a + b \]<br />\[ 2x + 3y = a + b \]<br /><br />Resolvendo a terceira equação:<br />\[ x - y = c \]<br />\[ x = c + y \]<br /><br />Substituindo \( x \) na primeira equação:<br />\[ (c + y) + 2y = a \]<br />\[ c + 3y = a \]<br />\[ 3y = a - c \]<br />\[ y = \frac{a - c}{3} \]<br /><br />Substituindo \( y \) na segunda equação:<br />\[ (c + y) + y = b \]<br />\[ c + \frac{a - c}{3} + \frac{a - c}{3} = b \]<br />\[ c + \frac{2(a - c)}{3} = b \]<br />\[ 3c + 2(a - c) = 3b \]<br />\[ 3c + 2a - 2c = 3b \]<br />\[ 2a - c = 3b \]<br />\[ 2a = 3b + c \]<br />\[ a = \frac{3b + c}{2} \]<br /><br />Portanto, para qualquer vetor \( (a