Exercício 10. Sejam (G_(1),.) e (G_(2),ast ) grupos e f:G_(1)arrow G_(2) um homomorfismo. Mostre que o conjunto imagem de f Im(f)= f(x);xin G_(1)) é um subgrupo de G_(2)

Para mostrar que o conjunto imagem de \( f \), denotado por \( \text{Im}(f) \), é um subgrupo de \( G_2 \), precisamos verificar três propriedades: fechamento, identidade e inverso.<br /><br />1. **Fechamento**: Vamos mostrar que, se \( a, b \in \text{Im}(f) \), então \( a \ast b \in \text{Im}(f) \). Se \( a = f(x) \) e \( b = f(y) \) para alguns \( x, y \in G_1 \), então \( a \ast b = f(x) \ast f(y) \). Como \( f \) é um homomorfismo, temos \( f(x \ast y) = f(x) \ast f(y) \). Portanto, \( a \ast b = f(x \ast y) \in \text{Im}(f) \).<br /><br />2. **Identidade**: O elemento identidade em \( G_2 \) é \( e_2 \). Precisamos mostrar que \( f(e_1) = e_2 \), onde \( e_1 \) é o elemento identidade em \( G_1 \). Como \( f \) é um homomorfismo, temos \( f(e_1 \ast e_1) = f(e_1) \ast f(e_1) \). Mas \( e_1 \ast e_1 = e_1 \), então \( f(e_1) \ast f(e_1) = f(e_1) \). Portanto, \( f(e_1) = e_2 \).<br /><br />3. **Inverso**: Vamos mostrar que, se \( a \in \text{Im}(f) \), então \( a^{-1} \in \text{Im}(f) \). Se \( a = f(x) \) para algum \( x \in G_1 \), precisamos mostrar que \( a^{-1} = f(y) \) para algum \( y \in G_1 \). Como \( f \) é um homomorfismo, temos \( f(x^{-1}) = f(x)^{-1} \). Portanto, \( a^{-1} = f(x^{-1}) \in \text{Im}(f) \).<br /><br />Portanto, \( \text{Im}(f) \) é um subgrupo de \( G_2 \).