Sol é o astro mais brilhante em nosso céu . sua magnitude aparente a 1UA de distância vale apro ximadamente m_(Sol)=-26,8 A Lua é o segundo astro mais brilhante. Sua magni tude aparen te quando seu disco se enc ontra comp letamente iluminado ,a cerca de 384.000 km de distância vale aprox imadamente m_(Lua)=-12,6 Sabemos que o brill no de um astro varia com o quad rado da distâncie . Então, podemos imaginal que,à medida qu e nos aproxi mamos da Lua Cheia , seu brill ho irá aumenta r até que,em un a determi nada distâ ncia desse astro, seu brilho seja iqual ao brilho do Sol, vistc da Terra. Send assim assinale a opcão que tra , aprox imadamente essa di stância. Dados, se necessário : diâmetro do Sol Phi _(Sol)=1,4times 10^6km ; diâmetre da Lua Phi _(Lua)= 3.474,8 km A 568,9 km B) 691,8 km C) 570,6 km D) 586,1 km E) 5551 km

Para encontrar a distância em que o brilho da Lua será igual ao brilho do Sol, podemos usar a relação dada: o brilho de um objeto é proporcional ao quadrado da distância. Vamos chamar essa distância de \(d\).<br /><br />A magnitude aparente do Sol é \(m_{Sol} = -26,8\) e a magnitude aparente da Lua é \(m_{Lua} = -12,6\). A distância média da Terra ao Sol é de 1 UA (unidade astronômica), que é aproximadamente 149,6 milhões de km. A distância média da Terra à Lua é de cerca de 384.000 km.<br /><br />Podemos escrever a relação de proporcionalidade entre o brilho da Lua e o brilho do Sol da seguinte forma:<br /><br />\[<br />\frac{m_{Sol}}{m_{Lua}} = \left(\frac{d}{d_{\text{lua}}}\right)^2<br />\]<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />\[<br />\frac{-26,8}{-12,6} = \left(\frac{d}{384.000}\right)^2<br />\]<br /><br />Simplificando a fração:<br /><br />\[<br />\frac{26,8}{12,6} = \left(\frac{d}{384.000}\right)^2<br />\]<br /><br />\[<br />2,13 = \left(\frac{d}{384.000}\right)^2<br />\]<br /><br />Agora, vamos resolver para \(d\):<br /><br />\[<br />\sqrt{2,13} = \frac{d}{384.000}<br />\]<br /><br />\[<br />d = 384.000 \times \sqrt{2,13}<br />\]<br /><br />\[<br />d \approx 384.000 \times 1,46<br />\]<br /><br />\[<br />d \approx 560.640 \text{ km}<br />\]<br /><br />Portanto, a opção que mais se aproxima dessa distância é a opção C) 570,6 km.