Resolva o seguinte sistema linear pelo Método de Eliminação de Gauss e indique o valor da solução. x+2y+4z=16 2x+z=8 4x+2y+z=19

Para resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss, vamos escrever a matriz aumentada do sistema e realizar operações elementares para obter a forma escalonada reduzida.<br /><br />A matriz aumentada é:<br /><br />$\begin{bmatrix}<br />1 & 2 & 4 & 16 \\<br />2 & 0 & 1 & 8 \\<br />4 & 2 & 1 & 19 \\<br />\end{bmatrix}$<br /><br />Vamos realizar operações para eliminar os elementos abaixo da primeira coluna:<br /><br />1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:<br />$\begin{bmatrix}<br />1 & 2 & 4 & 16 \\<br />0 & -4 & -7 & -24 \\<br />4 & 2 & 1 & 19 \\<br />\end{bmatrix}$<br /><br />2. Subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:<br />$\begin{bmatrix}<br />1 & 2 & 4 & 16 \\<br />0 & -4 & -7 & -24 \\<br />0 & -6 & -15 & -51 \\<br />\end{bmatrix}$<br /><br />Agora, vamos eliminar o elemento acima da segunda coluna da terceira linha:<br /><br />3. Adicionamos 1.5 vezes a segunda linha à terceira linha:<br />$\begin{bmatrix}<br />1 & 2 & 4 & 16 \\<br />0 & -4 & -7 & -24 \\<br />0 & -6 & -15 & -51 \\<br />\end{bmatrix}$<br /><br />A matriz escalonada reduzida é:<br /><br />$\begin{bmatrix}<br />1 & 2 & 4 & 16 \\<br />0 & -4 & -7 & -24 \\<br />0 & 0 & -3 & -9 \\<br />\end{bmatrix}$<br /><br />Agora, podemos resolver o sistema substituindo os valores de baixo para cima:<br /><br />Da última linha, temos -3z = -9, logo z = 3.<br /><br />Substituindo z = 3 na segunda linha, temos -4y - 7(3) = -24, logo -4y - 21 = -24, o que implica -4y = -3, logo y = 3/4.<br /><br />Substituindo y = 3/4 e z = 3 na primeira linha, temos x + 2(3/4) + 4(3) = 16, logo x + 3/2 + 12 = 16, o que implica x = 16 - 15/2 = 17/2.<br /><br />Portanto, a solução do sistema é x = 17/2, y = 3/4 e z = 3.