Se as raizes da equação x^2-5vert xvert -6=0 são também raizes de x^2-ax-b=0 então os valores dos números reais a e b são, respectivamente: (a) -1 e6 (b) 5 e 6 (c) 0 e 36 (d) 5 e 36

Para resolver essa questão, primeiro precisamos encontrar as raízes da equação $x^{2}-5\vert x\vert -6=0$. Podemos fazer isso considerando dois casos: quando $x \geq 0$ e quando $x < 0$.<br /><br />Caso 1: $x \geq 0$<br />Neste caso, $\vert x\vert = x$. Substituindo na equação, temos:<br />$x^{2}-5x-6=0$<br /><br />Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:<br />$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$<br /><br />Aplicando os valores da equação, temos:<br />$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$<br />$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2}$<br />$x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2}$<br />$x=\frac{5\pm7}{2}$<br /><br />Portanto, as raízes são:<br />$x=\frac{5+7}{2}=6$ e $x=\frac{5-7}{2}=-1$<br /><br />Caso 2: $x < 0$<br />Neste caso, $\vert x\vert = -x$. Substituindo na equação, temos:<br />$x^{2}+5x-6=0$<br /><br />Novamente, podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:<br />$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$<br /><br />Aplicando os valores da equação, temos:<br />$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$<br />$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{2}$<br />$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2}$<br />$x=\frac{-5\pm7}{2}$<br /><br />Portanto, as raízes são:<br />$x=\frac{-5+7}{2}=1$ e $x=\frac{-5-7}{2}=-6$<br /><br />Agora, precisamos encontrar os valores de a e b na equação $x^{2}-ax-b=0$ que possuem as mesmas raízes.<br /><br />Para isso, podemos usar a propriedade das raízes de uma equação quadrática: a soma das raízes é igual a $\frac{-b}{a}$ e o produto das raízes é igual a $\frac{-c}{a}$.<br /><br />Considerando as raízes encontradas anteriormente, temos:<br />Soma das raízes: $6+1=7$<br />Produto das raízes: $6\cdot1=6$<br /><br />Portanto, temos:<br />Soma das raízes: $\frac{-b}{a}=7$<br />Produto das raízes: $\frac{-c}{a}=6$<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos:<br />$a=-1$ e $b=6$<br /><br />Portanto, os valores de a e b são, respectivamente, -1 e 6. A resposta correta é a opção (a) $-1$ e 6.