3. Um triângulo equiliátero tem seus vértices com as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(2,1),B(5,1) e C(2,4)

Para determinar se o triângulo com vértices A(2,1), B(5,1) e C(2,4) é equilátero, precisamos calcular as distâncias entre cada par de vértices e verificar se todos os lados têm o mesmo comprimento.<br /><br />A distância entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ no plano cartesiano é dada pela fórmula:<br /><br />$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$<br /><br />Aplicando essa fórmula, podemos calcular as distâncias entre os vértices do triângulo:<br /><br />- Distância AB: $d_{AB} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$<br /><br />- Distância BC: $d_{BC} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$<br /><br />- Distância CA: $d_{CA} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9$<br /><br />Portanto, os lados AB e CA têm o mesmo comprimento (3 unidades), mas o lado BC tem um comprimento diferente ($3\sqrt{2}$ unidades). Portanto, o triângulo com vértices A(2,1), B(5,1) e C(2,4) não é equilátero.